Природа и характер информативных признаков, используемых при решении задач распознавания, могут быть самыми различными - спектральные плотности эталонных сигналов, автокорреляционные функции, средние значения и т.п. [1]. В том числе достаточно широко используются гистограммные оценки плотностей распределения вероятностей появления значений сигналов, не требующие значительных вычислительных затрат. В зависимости от физической природы сигнала такие оценки могут интерпретироваться по-разному. Например, в системах технического зрения, где в качестве первичного источника информации используются цифровые модели изображений, такие гистограммы характеризуют распределение вероятностей появления пикселей с заданным уровнем яркости, или, в многомерном случае, с заданным цветовым оттенком.
Оценка плотности распределения по гистограмме будет являться случайной величиной, распределение которой должно зависеть от объёма выборки отсчётов сигнала, по которой формируется эта оценка, а также, возможно, от ряда других факторов. Поэтому для принятия решения о целесообразности её использования как информативного признака, необходимо установить вид этого распределения и его основные параметры.
Пусть 
- сигнал, воспринимаемый ИИС, подвергшийся дискретизации и квантованию. Здесь η - Nd - мерный обобщённый аргумент, определяющий положение текущего отсчёта в сигнальной области (пространстве, времени, спектральной зоне и т.п.). Каждый отсчёт может принимать одно из конечного множества значений 
, где n - число уровней квантования. Если исходный непрерывный сигнал описывался плотностью распределения 
, то дискретная последовательность будет описываться рядом распределения 
.
Для вычисления локальной оценки этого ряда в некоторой точке 
, выделим в её окрестности область-апертуру заданных размеров и формы, по которой будет вычисляться гистограмма 
.
Пусть мощность множества отсчётов сигнала, ограниченных апертурой, равна N. Перенумеруем последовательно рассматриваемые отсчёты: 
. Элемент гистограммы hi по определению представляет собой частоту появления отсчётов со значением, равным xi, т.е. 
, где 
- число отсчётов, равных 
.
С ростом N частоты hi сходятся по вероятности к элементам ряда распределения 
, однако для любого конечного значения N величины hi будут являться случайными. Для принятия решения о целесообразности использования оценки H в задаче распознавания, необходимо выяснить характер и параметры законов распределения величин hi. Можно показать, что при рассмотрении некоррелированных сигналов, или использовании достаточно больших апертур распределение hi является биномиальным.
Для доказательства рассмотрим процесс формирования величины hi. Анализ j-го отсчёта сигнала является случайным опытом с парой возможных исходов: попадание значения сигнала в i-ый уровень квантования с вероятностью 
, и непопадание с вероятностью 
. Множество 
можно интерпретировать как серию S, состоящую из N опытов принимающую один из 2N возможных исходов с вероятностями:
По аналогии с булевыми векторами будем называть весом серии Sik число 
, равное числу первых исходов в этой серии.
Разобьём множество возможных исходов серий опытов 
на N+1 подмножество - группы серий {Gil}, l=0,K,N, элементы которых имеют равный вес. Вероятность появления любой серии Sik, принадлежащей группе Gil, будет равна 
.
Число серий, относящихся к 
-ой группе, устанавливается из комбинаторных соображений, и равно числу сочетаний 
. Таким образом, суммарная вероятность всех серий, принадлежащих группе 
, описывается выражением:
.
Элемент hi, являющийся частотой появления отсчётов со значением xi, представляет собой дискретную случайную величину, принимающую одно из множества значений 
. Вес серии, отнесённый к её длине, имеет размерность частоты появления отсчёта xi, при этом p(Gil) представляет собой ни что иное, как искомый ряд распределения вероятностей 
, т.е.
(1)
Таким образом, первоначальное утверждение о характере ряда распределения hi справедливо.
В отличие от схемы Бернулли при анализе гистограмм интерес представляют не абсолютные числа положительных исходов, а их относительные частоты 
. При этом несколько модифицируются выражения для математического ожидания 
и дисперсии 
.
В частности можно показать, что математическое ожидание найденного ряда распределения будет равно
, (2)
а дисперсия равна
.(3)
Зависимости (1-3) позволяют определить диапазон, в который будут попадать оценки плотности распределения по гистограмме H для заданного объёма выборки и априорных вероятностей появления значений сигнала. На рис. 1 показан пример разброса оценок при нормальном распределении .
Таким образом, при ограниченном размере апертуры элементы hi гистограммы будут распределены биномиально, а их математическое ожидание будет равно априорной вероятности появления в сигнале отсчётов со значением xi, т.е. 
. Дисперсия элементов hi убывает с ростом объёма выборки N, т.е. увеличение размеров апертуры делает оценку ряда по гистограмме статистически более обоснованной. Найденные зависимости позволяют определить целесообразность использования гистограммных оценок при решении задачи распознавания.
Литература
- Ларкин Е.В., Котов В.В. Особенности идентификации событий методами вейвлет-анализа. // Известия Тульского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. Том 7. Вып. 3. Информатика - Тула: изд-во ТулГУ, 2001. - 200 с. (С. 96-103)
Рис. 1. Пример разброса гистограммных оценок при нормальном распределении значений сигнала