Для математического описания многочисленных явлений и процессов в газовой динамике, химической кинетике, в теории переноса и излучения, при моделировании процессов в ядерных реакторах, при описании процессов пуляционной генетики, многих задач математической физики и инженерной практики
[2, 5] используются системы дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа. Исследование управляемости таких систем является весьма важным в математической теории управления, поскольку содержание задачи управляемости состоит в исследовании области достижимости [5], т.е. множества точек пространства состояний, в которые можно перевести систему из начального состояния посредством допустимых
управлений.
1. Постановка задачи относительной управляемости
Пусть состояние объекта с распределенными параметрами, описывается следующей системой уравнений в частных производных гиперболического типа:
(1)
с граничными условиями типа Гурса:
(2)
- условие согласованности
Здесь х - n-вектор, характеризирующий состояние объекта; A, A1, A2 - постоянные n×n матрицы; b - постоянный n-вектор; u(t,s) - кусочно-непрерывная и ограниченная скалярная функция, t∈[0, ∞), s∈[0, ∞). Пусть дана еще r×n постоянная матрица H.
Систему (1) назовем управляемой относительно подпространства H [1], если для ∀ начальных состояний (2), найдутся такие T, S и кусочно-непрерывное управление u(t,s), 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ s ≤ S, что соответствующее ему состояние x(t,s) удовлетворяет условию:
(3)
Ставится задача найти необходимые и достаточные условия относительной управляемости системы (1)-(2), которые выражались бы через ее параметры.
2. Решение задачи относительной управляемости
Введем неизвестную матричную n×n функцию F(t, τ, s, σ), для которой предполагаем, что непрерывна вместе с производными по t и s по совокупности аргументов. Используя результаты [3] легко увидеть, что с помощью фундаментальной матрицы F(t, τ, s, σ) решение x(t,s) системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (2) запишется в виде:
(4)
Найдем теперь условия, при которых решение системы (1)-(2) удовлетворяет условию(3). Умножим обе стороны равенства (4) на матрицу H:
(5)
Предположим, что система (1) относительно управляема. Тогда, согласно определению, существуют такие T, S и кусочно-непрерывное управление u(t,s), 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ s ≤ S, что выполняется:
Верно и обратное: если при T < ∞, S < ∞ выполняется равенство (5), то система (1) относительно управляема. Следовательно, задача относительной управляемости системы (1) равносильна задаче разрешимости (5) относительно функции u(τ,σ), т.е. свели задачу относительной управляемости к проблеме моментов. Как известно [1], необходимые и достаточные условия разрешимости проблемы моментов состоят в линейной независимости функций: 
в прямоугольнике 
или, что равносильно, для ∀r-вектора 
(6)
Следовательно, необходимым и достаточным условием относительной управляемости системы (1) является выполнение условия (6).
Аналогично, как при доказательстве явного критерия управляемости [3], вводим функцию 
и получаем, что система (1) не будет относительно управляемой тогда и только тогда, когда вполняются в точке (T, S) следующие равенства:
(7)
где Qij - решения определяющего уравнения [3]:
Равенства (7) есть линейная комбинация строк матрицы 
размерности r×n(n + 2). Поскольку эта линейная комбинация равняется нулевому вектору, то следует, что строки матрицы линейно зависимы, что на языке рангов запишется так:
С другой стороны матрицу 
, можно рассматривать как произведение двух матриц - матрицы H размерности r×n и матрицы 
размерости n×n(n + 2). Известно, что ранг R произведения двух матриц:
Очевидно, что 
. Следовательно:
Доказали, что система (1) не будет относительно управляемой тогда и только тогда, когда вполняется неравенство (8). Переходя к отрицанию и имея в виду, что 
, легко сформулировать следующую теорему:
Теорема (явный критерий относительной управляемости системы (1)-(2)):
Для того чтобы система (1)-(2) была относительно управляемой, необходимо и достаточно существования таких T < ∞, S < ∞, что:
Список литературы
- Габасов Р., Кирилова Ф. Качественная теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1971.
- Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1965.
- Василева М.В. Упрявляемость объектов с расспределенными параметрами, описываемых системами уравнений в частных производных гиперболического типа. Годишник на Висшия Педагогически Институт в Шумен. - Т. VII Б. - 1983.
- Василева М.В. О точечной полноте систем уравнений в частных производных гиперболического типа // Современные проблемы науки и образования. - 2008. - № 3 - С. 128-132. -
URL: www.science-education.ru/22-768. - Рузакова О.А., Федоров В.Е. Об e-управляемости линейных уравнений, не разрешенных относительно производной, в банаховых пространствах // Вычислительные технологии. - 2005. -Т. 10, № 5.
Работа представлена на Международную научную конференцию «Наука и образование в современной России», Москва (Россия), 15-18 ноября, 2010. Поступила в редакцию 31.01.2011