Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ

Василева М.В.

Для математического описания многочисленных явлений и процессов в газовой динамике, химической кинетике, в теории переноса и излучения, при моделировании процессов в ядерных реакторах, при описании процессов пуляционной генетики, многих задач математической физики и инженерной практики
[2, 5] используются системы дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа. Исследование управляемости таких систем является весьма важным в математической теории управления, поскольку содержание задачи управляемости состоит в исследовании области достижимости [5], т.е. множества точек пространства состояний, в которые можно перевести систему из начального состояния посредством допустимых
управлений.

1. Постановка задачи относительной управляемости

Пусть состояние объекта с распределенными параметрами, описывается следующей системой уравнений в частных производных гиперболического типа:

1 (1)

с граничными условиями типа Гурса:

2

f (2)

f - условие согласованности

Здесь х - n-вектор, характеризирующий состояние объекта; A, A1, A2 - постоянные n×n матрицы; b - постоянный n-вектор; u(t,s) - кусочно-непрерывная и ограниченная скалярная функция, t∈[0, ∞), s∈[0, ∞). Пусть дана еще r×n постоянная матрица H.

Систему (1) назовем управляемой относительно подпространства H [1], если для ∀ начальных состояний (2), найдутся такие T, S и кусочно-непрерывное управление u(t,s), 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ s ≤ S, что соответствующее ему состояние x(t,s) удовлетворяет условию:

f (3)

Ставится задача найти необходимые и достаточные условия относительной управляемости системы (1)-(2), которые выражались бы через ее параметры.

2. Решение задачи относительной управляемости

Введем неизвестную матричную n×n функцию F(t, τ, s, σ), для которой предполагаем, что непрерывна вместе с производными по t и s по совокупности аргументов. Используя результаты [3] легко увидеть, что с помощью фундаментальной матрицы F(t, τ, s, σ) решение x(t,s) системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (2) запишется в виде:

f(4)

Найдем теперь условия, при которых решение системы (1)-(2) удовлетворяет условию(3). Умножим обе стороны равенства (4) на матрицу H:

f (5)

Предположим, что система (1) относительно управляема. Тогда, согласно определению, существуют такие T, S и кусочно-непрерывное управление u(t,s), 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ s ≤ S, что выполняется:

Верно и обратное: если при T < ∞, S < ∞ выполняется равенство (5), то система (1) относительно управляема. Следовательно, задача относительной управляемости системы (1) равносильна задаче разрешимости (5) относительно функции u(τ,σ), т.е. свели задачу относительной управляемости к проблеме моментов. Как известно [1], необходимые и достаточные условия разрешимости проблемы моментов состоят в линейной независимости функций: f в прямоугольнике f или, что равносильно, для ∀r-вектора f

f (6)

Следовательно, необходимым и достаточным условием относительной управляемости системы (1) является выполнение условия (6).

Аналогично, как при доказательстве явного критерия управляемости [3], вводим функцию f и получаем, что система (1) не будет относительно управляемой тогда и только тогда, когда вполняются в точке (T, S) следующие равенства:

f (7)

где Qij - решения определяющего уравнения [3]:

f

Равенства (7) есть линейная комбинация строк матрицы f размерности r×n(n + 2). Поскольку эта линейная комбинация равняется нулевому вектору, то следует, что строки матрицы линейно зависимы, что на языке рангов запишется так:

f

С другой стороны матрицу f, можно рассматривать как произведение двух матриц - матрицы H размерности r×n и матрицы f размерости n×n(n + 2). Известно, что ранг R произведения двух матриц:

f

Очевидно, что f. Следовательно:

f

Доказали, что система (1) не будет относительно управляемой тогда и только тогда, когда вполняется неравенство (8). Переходя к отрицанию и имея в виду, что f, легко сформулировать следующую теорему:

Теорема (явный критерий относительной управляемости системы (1)-(2)):

Для того чтобы система (1)-(2) была относительно управляемой, необходимо и достаточно существования таких T < ∞, S < ∞, что:

f

Список литературы

  1. Габасов Р., Кирилова Ф. Качественная теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1971.
  2. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1965.
  3. Василева М.В. Упрявляемость объектов с расспределенными параметрами, описываемых системами уравнений в частных производных гиперболического типа. Годишник на Висшия Педагогически Институт в Шумен. - Т. VII Б. - 1983.
  4. Василева М.В. О точечной полноте систем уравнений в частных производных гиперболического типа // Современные проблемы науки и образования. - 2008. - № 3 - С. 128-132. -
    URL: www.science-education.ru/22-768.
  5. Рузакова О.А., Федоров В.Е. Об e-управляемости линейных уравнений, не разрешенных относительно производной, в банаховых пространствах // Вычислительные технологии. - 2005. -Т. 10, № 5.

Работа представлена на Международную научную конференцию «Наука и образование в современной России», Москва (Россия), 15-18 ноября, 2010. Поступила в редакцию 31.01.2011


Библиографическая ссылка

Василева М.В. ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ // Успехи современного естествознания. – 2011. – № 4. – С. 176-178;
URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=21215 (дата обращения: 28.10.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074