На многих предприятиях химической и перерабатывающей промышленности применяется гидротранспорт. Заключительным этапом гидротранспортировки является разделение суспензии на жидкую и твёрдую фазы. Для этого предлагается использовать водоотделитель, представляющий собой вертикальный цилиндр с перфорацией, в который снизу под давлением подаётся суспензия. Под действием силы тяжести жидкость удаляется через отверстия, а твёрдая фаза поднимается вверх под давлением.
Движение жидкости в водоотделителе описывается уравнением Лапласа, решение которого, соответствующее заданным начальным условиям, получено в виде рядов Фурье-Бесселя.
При расчёте водоотделителя необходимо найти его высоту и вспомогательные параметры, выраженные через ряды, требующие достаточно трудоёмких вычислений.
Так как инженер должен стремиться упростить вычисления, то предлагается воспользоваться аппроксимирующими формулами для вычисления этих рядов.
В этом случае методика инженерного расчёта следующая.
По известным расходу жидкости Q, радиусу цилиндра R, коэффициенту проницаемости K, скорости перемещения частиц v-, вязкости и плотности жидкости η, ρ вычисляем параметр M.
Затем по значению M вычисляем высоту депрессионной поверхности L. Для функции L(M) получены следующие аппроксимирующие формулы
M ∈ [0,3256; 3,2855] L = R⋅0,4622M-0,5009;
M ∈ [0,0734; 0,3256] L = R⋅(-0,3691ln(M) + 0,3764);
M ∈ [0,0147; 0,0734] L = R⋅(-0,4041ln(M) + 0,2878).
Относительная погрешность формул не превышает 1,2 %, что вполне допустимо при инженерных расчётах.
Депрессионная поверхность на оси аппарата имеет высоту L, поэтому параметр вычисляется по формуле
где
(1)
δ - толщина сетки водоотделителя, Δ = δ/R - безразмерная толщина падения давления, J0, J1 - функции Бесселя 1 рода нулевого порядка и первого порядка.
Корни μk характеристического уравнения J0(μk) = 0 взяты из таблиц
μ1 = 2,4048;
μ2 = 5,5201;
μ3 = 8,6537;
μ4 = 11,7915;
μ5 = 14,9309;
μ6 = 18,0711;
μ7 = 21,2116;
μ8 = 24,3525;
μ9 = 27,4935;
μ10 = 30,6346.
При k > 10 для вычисления μk использовалась асимптотическая формула
Интеграл, входящий в выражение (1), через элементарные функции не выражается, поэтому использовалась формула Симпсона.
При инженерных расчетах для приближённого вычисления параметра A на различных интервалах в качестве аппроксимаций предлагается использовать следующие выражения, полученные методом наименьших квадратов:
Таблица 1
|
L/R |
f1 |
|
f1 |
|
|
0,25 |
0,4923 |
0,4841 |
0,1237 |
0,1250 |
|
0,4 |
0,4385 |
0,4474 |
0,1846 |
0,1840 |
|
0,5 |
0,3821 |
0,3878 |
0,2129 |
0,2107 |
|
0,65 |
0,2929 |
0,2912 |
0,2394 |
0,2376 |
|
0,8 |
0,2154 |
0,2070 |
0,2534 |
0,2562 |
Таблица 2
|
L/R |
f1 |
|
f2 |
|
|
0,8 |
0,2154 |
0,2162 |
0,2534 |
0,2544 |
|
0,9 |
0,1731 |
0,1722 |
0,2586 |
0,2580 |
|
1,05 |
0,1232 |
0,1225 |
0,2630 |
0,262 |
|
1,15 |
0,0978 |
0,0976 |
0,2647 |
0,2641 |
|
1,25 |
0,0773 |
0,0777 |
0,2657 |
0,2659 |
|
1,35 |
0,0611 |
0,0619 |
0,2663 |
0,2674 |
Таблица 3
|
L/R |
f1 |
|
f2 |
|
|
1,35 |
0,0611 |
0,0611 |
0,2663 |
0,2664 |
|
1,55 |
0,0380 |
0,0379 |
0,2669 |
0,2668 |
|
1,7 |
0,0265 |
0,0265 |
0,2671 |
0,2670 |
|
1,8 |
0,0209 |
0,0209 |
0,2672 |
0,2671 |
|
1,9 |
0,0164 |
0,0164 |
0,2672 |
0,2672 |
|
2,0 |
0,0129 |
0,0129 |
0,2672 |
0,2673 |
В таблицах приведены значения f1 и f2, полученные при kolvo = 100, а также полученные по аппроксимирующим формулам 
, 
. Относительные погрешности этих формул не превышают 2 %, что вполне приемлемо для инженерных расчётов.