Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,736

Приведение матриц к диагональному виду значительно упрощает решение многих прикладных задач, находит широкое применение при моделировании линейных динамических систем, при решении систем линейных алгебраических уравнений; каноническое разложение применяется для возведения матрицы в степень и нахождения обратной матрицы.

В данной работе рассматриваются вопросы построения канонического разложения матриц, его применение для решения систем линейных уравнений и возведения матриц в натуральную степень.

Построим каноническое разложение матрицы

f

Для этого найдем корни характеристического многочлена матрицы A:

f

Следовательно, собственные значения матрицы А есть λ1 = 1 (2-й кратности) и λ2 = 3 (1-й кратности).

Т.к. алгебраические кратности собственных чисел совпадают с геометрическими кратностями, то матрица А приводима к диагональному (каноническому) виду.

Каждому собственному значению λk с учетом его кратности найдем соответствующие собственные векторы по формуле

f

Из полученных собственных векторов f, ff составим собственный базис, в котором матрица А принимает диагональный вид

f

где f - матрица перехода от старого базиса к собственному базису f.

Разрешив матричное уравнение f относительно матрицы А и вычислив матрицу

f,

придем к каноническому разложению матрицы А

f.

Рассмотрим пример решения системы линейных уравнений AX = D, где D = (1, 1, 0)T, с помощью канонического разложения матрицы А.

Подставим в исходную систему AX = D каноническое разложение матрицы и получим f.
Умножим обе части уравнения слева на B-1 и введем замену B-1X = Z.

Тогда

f

или

f

Отсюда

f

- единственное решение системы линейных уравнений AX = D.

Если известно каноническое разложение A = BΛB‒1 матрицы А, то ее m-я степень при натуральном числе m находится по формуле

f

Вычислим A5, используя данную формулу:

f

Таким образом, каноническое разложение матрицы позволяет сократить вычисления при решении многих задач, имеющих практическое значение.