Приведение матриц к диагональному виду значительно упрощает решение многих прикладных задач, находит широкое применение при моделировании линейных динамических систем, при решении систем линейных алгебраических уравнений; каноническое разложение применяется для возведения матрицы в степень и нахождения обратной матрицы.
В данной работе рассматриваются вопросы построения канонического разложения матриц, его применение для решения систем линейных уравнений и возведения матриц в натуральную степень.
Построим каноническое разложение матрицы
Для этого найдем корни характеристического многочлена матрицы A:
Следовательно, собственные значения матрицы А есть λ1 = 1 (2-й кратности) и λ2 = 3 (1-й кратности).
Т.к. алгебраические кратности собственных чисел совпадают с геометрическими кратностями, то матрица А приводима к диагональному (каноническому) виду.
Каждому собственному значению λk с учетом его кратности найдем соответствующие собственные векторы по формуле
Из полученных собственных векторов 
, 
, 
составим собственный базис, в котором матрица А принимает диагональный вид
где 
- матрица перехода от старого базиса к собственному базису 
.
Разрешив матричное уравнение 
относительно матрицы А и вычислив матрицу
,
придем к каноническому разложению матрицы А
.
Рассмотрим пример решения системы линейных уравнений AX = D, где D = (1, 1, 0)T, с помощью канонического разложения матрицы А.
Подставим в исходную систему AX = D каноническое разложение матрицы и получим 
.
Умножим обе части уравнения слева на B-1 и введем замену B-1X = Z.
Тогда
или
Отсюда
- единственное решение системы линейных уравнений AX = D.
Если известно каноническое разложение A = BΛB‒1 матрицы А, то ее m-я степень при натуральном числе m находится по формуле
Вычислим A5, используя данную формулу:
Таким образом, каноническое разложение матрицы позволяет сократить вычисления при решении многих задач, имеющих практическое значение.
Библиографическая ссылка
Дьяконова К.С., Артамонов И.А., Макаров А.С, Матвеева Т.А. КАНОНИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ // Успехи современного естествознания. 2011. № 7. С. 260-261;URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=27336 (дата обращения: 02.04.2025).