Примером движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки может служить движение крестовины шарнира Гука. Шарнир Гука широко применяется в машиностроении (рис. 1).
Рис. 1. Карданный вал автомобиля
Рис. 2. Муфты и крестовина
Двигатель автомобиля и связанная с ним коробка передач подвешены относительно кузова на упругих опорах. Задний мост с главной передачей также может иметь перемещения относительно кузова. Таким образом вал коробки передач и вал главной передачи не находятся на одной оси даже при неподвижном автомобиле. А при движении автомобиля указанные оси непрерывно меняют свою ориентацию в пространстве. Шарнир Гука служит для передачи вращений между валами, оси которых пересекаются, причём угол между осями валов может изменяться. А комбинация из двух шарниров позволяет передавать движения между скрещивающимися осями, как это показано на рис. 1.
Как видно из рис. 1 и 2, валы заканчиваются соответственно вилками, причем каждая вилка снабжена двумя муфтами, общая ось которых пересекает ось соответствующего вала под прямым углом.
В муфты входят шипы прямоугольной крестовины. Оси крестовины AB и CD взаимно перпендикулярны, и точка их пересечения 0 совпадает с точкой пересечения осей валов. При вращении ведущего вала I с помощью крестовины приводится во вращение вал II. Если оси валов неподвижны, то крестовина совершает сферическое движение вокруг неподвижного центра O (рис. 3). При известном законе движения ведущего вала φ1 = f(t) требуется определить угол поворота φ2 и угловую скорость ω2 ведомого вала.
Принимая за начало координат неподвижную точку крестовины, составим расчетную схему и направим координатные оси как показано на рис. 3, 4.
Для установления зависимостей между углами φ1 и φ2 строим таблицу направляющих косинусов между осями подвижной и неподвижной системами координат. После преобразования получим:
|
x′ |
y′ |
z′ |
|
|
x |
cosacosφ2 |
cosφ1 |
a13 |
|
y |
sinφ2 |
sinφ1 |
a23 |
|
z |
sinacosφ2 |
0 |
a33 |
Элементы третьего столбца этой таблицы не вычислены. Для определения угла поворота j2 это не требуется. Далее заметим, что в таблице направляющих косинусов скалярное произведение двух любых строчек и двух любых столбцов равно нулю. Это есть условие перпендикулярности соответствующих осей.
Рис. 3. Схема движения крестовины
Рис. 4. Углы Эйлера
Применяя условие перпендикулярности осей Ox′и Oy′, получим
откуда
(1)
где φ1 = f(t).
Уравнение (1) есть кинематическое уравнение вращения ведомого вала. При равномерном вращении ведущего вала
и 
2. Определение угловой скорости w2 ведомого вала.
Дифференцируя (1) по времени и считая a = const, после преобразования будем иметь:
(2)
где 
.
Таким образом, угловая скорость ведомого вала зависит не только от угловой скорости но и от угла поворота ведущего вала. При равномерном вращении ведущего вала ω1 = const и при a = const угловая скорость ω2 будет функцией угла φ1, т.е. ведомый вал будет вращаться неравномерно.
Передаточное отношение
(3)
При заданном угле a передаточное отношение будет максимальным при φ1 = 0, π, 2π, ..., т.е. при совпадении плоскости ведущей вилки с плоскостью, содержащей оси валов. Максимальное значение передаточного отношения
Минимальное значение передаточного отношения достигается при 
, т.е. когда плоскость ведущей вилки перпендикулярна к плоскости, содержащей оси валов:
Таким образом, отношение скоростей заключено в интервале
На рис. 5 изображены два графика зависимости передаточного отношения от угла поворота ведущего вала при α = 0,1 рад и при α = 0,5 рад.
Из сравнения двух кривых видно, что при увеличении угла увеличивается неравномерность вращение ведомого вала. Для характеристики неравномерности вращение ведомого вала используется коэффициент
называемый коэффициентом неравномерности передачи.
Очевидно, что при a = 0 коэффициент k = 0. Для малых углов a коэффициент k незначителен, ас возрастанием a коэффициент k резко увеличивается, достигая при 90° бесконечности, т.е. движение становится невозможным.
Рис. 5. Зависимость передаточного отношения от угла поворота ведущего вала
Это обстоятельство значительно уменьшает область применимости карданной передачи. Она с успехом применяется на «классике», а для автомобиля с передним приводом такая передача не подходит.
Список литературы
1. Тарасов В.К. Курс теоретической механики для математиков. - ТулГУ, 2008.- 300 с.