Дифференциальные уравнения (Д.У.) часто и очень плодотворно используются при описании самых разнообразных процессов окружающей действительности. Но большинство Д.У., возникающих в прикладных задачах, явно не интегрируются.
Мы остановимся на решении Д.У. с импульсной правой частью. Одним из методов решения таких уравнений является операционный метод (преобразование Лапласа), применяющий в данном случае теорему запаздывания для составного оригинала.
где функция f(t) задана графиком
.
Пусть решение Д.У. является оригиналом x(t) и ему соответствует изображение X(p).
Тогда по теореме дифференцирования оригинала имеем
Импульсную правую часть можно представить в виде
где η(t) - единичная функция Хевисайда.
Изображения функции f(t) найдем по теореме запаздывания:
Запишем теперь операторное уравнение:
Находим из него неизвестное изображение X(p):
или
Еще раз, используя теорему запаздывания, находим искомый оригинал x(t), соответствующий изображению X(p):
Таким образом, при решении Д.У. с импульсной и составной правой частью операционный метод имеет преимущество перед другими методами решения таких уравнений. Операционное исчисление играет важную роль при решении прикладных задач, особенно в современной автоматике и те- лемеханике.
Список литературы
-
Сборник задач по высшей математике / К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный. - М.: Айрис Пресс, 2004.
-
Практическое руководство к решению задач по операционному исчислению / С.А. Зотова, В.Б. Светличная. - Волгоград: ВолгГТУ, ВПИ, 2000.
-
Матвеева Т.А. Некоторые методы обращения преобразования Лапласа и их приложения: автореф. дис ...канд. физ-мат. наук. - СПб., 2003. - 16 с.
-
Специальные главы математики: операционное исчисление: учебное пособие / Т.А. Матвеева, В.Б. Светличная, Д.К. Агишева, С.А. Зотова. - Волгоград, 2010. - 56 с.