Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

Theorem about the number and structure of the singular points n-dimensional dynamical system of population dynamics Lotka-Volterra in context of informational analysis and modeling

Moskovkin V.M. 1 Bilal N.E. 1 Suleiman 1
1 Voronezh State Pedagogical University
By elementary methods of combinatorial mathematics and uniqueness of solutions systems of linear algebraic equations for nondegenerate cases proved a theorem about the number and structure of the singular points of n-dimensional dynamical system of population dynamics Lotka-Volterra model. Showed that the number of singular points for this system is equal to 2n, and their structure on a combination of zero and nonzero coordinates coincides with the binomial coefficients.
Lotka-Volterra’s model
population dynamics
number of singular points
binomial coefficients
solution systems of linear algebraic equations

Многомерная модель популяционной динамики Лотки-Вольтерра была предложена Вито Вольтерра в работе [1], но так как параллельно такого рода уравнения в биофизической и химической кинетике развивал А. Лотка [2], то за уравнениями популяционной динамики закрепились фамилии обоих ученых. К изучению данной модели обращались такие крупные ученые как Г. Николис и И. Пригожин [3], Р. Мэй [4] и др. При рассмотрении этой модели ученые, в основном, изучали характер устойчивости нетривиальной особой точки. Например, Б. Гох [5] при изучении моделей мутуализма показал, что необходимым и достаточным условием для локальной и глобальной устойчивости нетривиальной особой точки модели Лотки-Вольтерра является положительность всех ведущих (главных) миноров матрицы Якоби для этой модели. Позднее З. Лу и Е. Такеучи [6] доказали ряд теорем по глобальной устойчивости системы уравнений Лотки-Вольтерра. В работах по экономической динамике [7, 8] было замечено, что n-мерная система уравнений популяционной динамики Лотки-Вольтерра имеет 2n особых точек, но до сих пор доказательства этому представлено не было. Возможность использования таких уравнений в информационном анализе и моделировании взаимодействий результатов различных видов НИОКР показана в работе [9]. Исходная n-мерная модель Лотки-Вольтерра, на наш взгляд, может быть использована при моделировании конкурентных взаимодействий n научных фронтов в рамках широкой области научных исследований, при которых будут наблюдаться разнообразные варианты подавления одних научных фронтов другими, а также их сосуществования. Ниже будет сформулирована и доказана теорема о количестве и структуре особых точек n-мерной модели Лотки-Вольтерра.

Основная часть

Теорема. Количество особых точек n-мерной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений Лотки-Вольтера с положительными коэффициентами и невырожденными случаями систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при определении координат особых точек, равняется 2n, а их структура в отношении сочетания нулевых и ненулевых координат совпадает с биномиальными коэффициентами.

Доказательство. Будем рассматривать систему уравнений Лотки-Вольтера в виде

Eqn21.wmf (1)

Для удобства доказательства теоремы перепишем правые части этой системы уравнений, приравненные к нулю, в виде:

Eqn22.wmf (2)

Будем рассматривать невырожденные случаи решения линейных систем алгебраических уравнений, которые имеют единственные решения.

Из системы уравнений (2) сразу же выделяются две особые точки – нулевая и нетривиальная (ненулевая), которая является решением n-мерной системы линейных алгебраических уравнений, стоящих в скобках исходной системы (2). С точки зрения комбинаторной математики, этим особым точкам соответствуют следующие сочетания:

Eqn23.wmf нулей из n переменных;

Eqn24.wmf нулей из n переменных.

В первом случае мы имеем единственную нулевую особую точку, во втором – единственную ненулевую особую точку.

Далее, количество особых точек с сочетанием одной нулевой координаты из n переменных равняется Eqn25.wmf, количество особых точек с сочетанием двух нулевых координат из n переменных равняется Eqn26.wmf, количество особых точек с сочетанием i нулевых координат из n переменных равняется Eqn27.wmf, количество особых точек с сочетанием (n – 1) нулевых координат из n переменных равняется Eqn28.wmf. Следовательно, общее количество особых точек равняется

Eqn29.wmf

Таким образом, показано, что общее количество особых точек равняется 2n, а их структура в отношении сочетания нулевых и ненулевых координат повторяет последовательную совокупность коэффициентов в биноме Ньютона.

В этом доказательстве подразумевается следующее положение. Когда мы берем все особые точки с нулевыми координатами в количестве i, то оставшиеся системы линейных алгебраических уравнений (n – i)-порядка имеют единственные решения (невырожденные случаи).

Заключение

Для n-мерной системы уравнений популяционной динамики, предложенной в работах В. Вольтера и А. Лотки еще в середине 20-х годов прошлого века, до сих пор не была доказана теорема о количестве и структуре особых точек этой классической системы уравнений. В данной работе такая теорема была доказана с помощью элементарных методов комбинаторной математики и единственности решений систем линейных алгебраических уравнений для невырожденных случаев. С точки зрения информационного анализа и моделирования информационных процессов и систем, следует отметить, что динамическая система (1) может, в принципе, моделировать процесс конкурентных взаимодействий n научных фронтов в рамках широкой области научных исследований. Тогда в такой системе могут наблюдаться 2n вариантов исходов таких взаимодействий из которых 2n–2 будут связаны с подавлением одних научных фронтов другими, которые окажутся более конкурентоспособными.