Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

DIRICHLET PROBLEM FOR THE MIXED TUPE PARABOLIC – HYPERBOLIC EQUATION WITH THE DISCONTINUITY COEFFICIENTS

Vodakhova V.A. 1 Guchaeva Z.K. 1
1 FGBOU VPO «Kabardin-Balkar state university n.a. Kh. M. Berbekov»
the boundary-value problem in the rectangular region for the mixed type equation was investigated. An assertion about existence of the unique solution of stated problem by Fourier’s method was substantiated.
Dirichlet problem
mixed parabololic- hyperbolic type equation
uniqueness and existence of the solution
the uniform convergence
Fourier’s method

Классические краевые задачи для эллиптических уравнений, такие как задачи Дирихле, Неймана, общая краевая задача перестают быть корректными для уравнений смешанного типа. В работах Н.Н. Вахания [2], J.R. Cannon [10] доказана корректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в прямоугольных областях. А.М. Нахушевым [9] установлено, что задача Дирихле для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в конечной смешанной области, ограниченной в верхней полуплоскости vodah001.wmf кусочно-гладкой кривой, содержащей интервал (0,1) прямой vodah003.wmf, а гиперболическая часть области квадрат, всегда разрешима и притом единственным образом.

Цель исследования: доказать существование и единственность решения аналога задачи Дирихле для уравнения смешанного параболо – гиперболлического типа.

Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

vodah004.wmf (1)

где vodah005.wmf, vodah006.wmf, в конечной области W, ограниченной отрезками А2А1, А1В1, В1В2, В2А2 прямых х=0, у=a>0, x=1, y=–b (b>0), соответственно и характеристиками уравнения (1) при vodah007.wmf

vodah008.wmf;

vodah009.wmf.

Обозначим через vodah010.wmf, vodah011.wmf параболическую и гиперболическую части области W соответственно; АВvodah012.wmf.

Задача. В области W найти решение u=u(x,y) из класса

vodah013.wmfvodah014.wmf

удовлетворяющее краевым условиям

vodah015.wmf (2)

vodah016.wmf (3)

и условию сопряжения

vodah017.wmf, (4)

где vodah018.wmf – заданная функция.

Теорема 1. Если выполнены условия:

1) vodah019.wmf;

2) vodah020.wmf;

3) vodah021.wmf, (5)

где vodah022.wmf – функции Бесселя первого рода порядка vodah023.wmf, то решение задачи (1) – (4) существует и единственно.

Доказательство единственности решения поставленной задачи аналогично [3].

Докажем существование решения задачи (1)-(4).

В области W, решение поставленной задачи будем искать методом разделения переменных.

Решение задачи (1)-(4) выписывается в явном виде

vodah024.wmf (6)

где vodah025.wmf; (7)

vodah026.wmf (8)

vodah027.wmf

vodah028.wmf – коэффициенты Фурье функции y-b (х).

Ряды (6) также как и ряды, полученные почленным двукратным дифференцированием, сходятся абсолютно и равномерно в Ω1 и Ω2.

В самом деле, покажем, что ряд

vodah029.wmf (9)

где vodah030.wmf – определяется формулой (7), действительно является регулярным решением задачи (1) – (4) в области Ω1. Для этого ниже мы покажем непрерывность как самой функции vodah031.wmf так и ее производных до второго порядка включительно.

Используя условия (1), (2) теоремы 1, проинтегрировав равенство

vodah032.wmf

по частям, нетрудно показать, что коэффициенты Фурье vodah033.wmf граничной функции y-b (х) не превосходят величины vodah034.wmf.

Пользуясь неравенством

vodah035.wmf,

заключаем, что ряд

vodah036.wmf (10)

является мажорантным для ряда (9). Отсюда заключаем сходимость ряда (10), и, следовательно, равномерномерную сходимость ряда (9), и непрерывность функции vodah037.wmf.

Аналогично можно установить равномерную сходимость продифференцированных рядов до второго порядка включительно:

vodah038.wmf

Обратимся теперь к равенству

vodah039.wmf (11)

где

vodah040.wmf

Докажем, что решение, представленное рядом (11), действительно является регулярным в области vodah041.wmf. Для этого мы покажем равномерную сходимость как ряда (11), так и рядов, почленно продифференцированных два раза по переменным х, у, т.е.

vodah042.wmf

vodah043.wmf

vodah044.wmf

vodah045.wmf.

Известно [1], что функции

vodah046.wmf

и vodah047.wmf

являются непрерывными и ограниченными. Это следует из свойств бесселевых функций первого рода.

Лемма 1. Для всех n и y ∈[-b; 0] существует постоянная k1>0, такая, что

|An(y)| ≤ k1, (12)

где vodah048.wmf.

Доказательство: Из свойств бесселевых функций первого рода, следует, что функция An(y) является непрерывной по переменной у на отрезке [-b; 0] . Следовательно, она ограничена.

При n→ ∝ для любого y∈[-b; 0] функция An(y) является бесконечно малой, порядка vodah049.wmf.

Действительно,

vodah050.wmf

где vodah051.wmf при n→ ∝,

vodah052.wmf.

Таким образом, при всех y∈ [-b; 0] и n∈N постоянная k1 такая, что справедлива оценка (12).Известно, что vodah053.wmf.

Справедливы утверждения:

Лемма 2. Для всех n∈N и любого y∈ [-b; 0] существует постоянная k2>0 такая, что

|Вn(y)| ≤ k2 ,

где vodah054.wmf.

Лемма 3. Для всех n∈N и любого y∈[-b; 0] существуют постоянные k3>0 и k4>0 такие, что

|Dn(y)| ≤ n k3, |Сn(y)| ≤ n k4,

где

vodah055.wmf,

vodah056.wmf

Лемма 4. Для всех n∈N и любого y∈ [-b; 0] существуют постоянные k5>0 и k6>0 такие, что

|Ln(y)| ≤ n2 k5, |Wn(y)| ≤ n2 k6

где

vodah057.wmf,

vodah058.wmf

Доказательство лемм 2-4 проводится аналогично доказательству леммы 1.

Предположим, что y-b(х) непрерывно дифференцируема до третьего порядка включительно. В силу того, что y-b(0) =y-b (1)=0 ее можно продолжить непрерывно на интервале [0,1] . Обозначим через vodah059.wmf периодическую на всей действительной оси функцию, которая является периодическим продолжением функции y-b(х). Будем предполагать, что vodah060.wmf является также непрерывно дифференцируемой функцией до третьего порядка включительно.

Продолженную функцию можно представить в виде ряда Фурье на всей оси. При изменении аргумента x в пределах 0≤ х≤ 1 полученный ряд будет совпадать с граничной функцией y-b (х).

Таким образом, с помощью лемм 1–4 и выше приведенной теоремы 1 можно утверждать справедливость следующей теоремы

Теорема 2. Пусть числовой ряд vodah061.wmf сходится.

Тогда:

Ряды u(x,y), ux(x,y), uy(x,y) сходятся абсолютно и равномерно в замкнутой области W.

Ряды uxx(x,y) и uyy(x,y) сходятся абсолютно и равномерно в области W.

Следует отметить, что нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа исследовались также в работах [4-8].