Научный журнал

Успехи современного естествознания

ISSN 1681-7494

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,775

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Водахова В.А. 1 Гучаева З.Х. 1

---

1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»

Для уравнения смешанного типа исследована краевая задача в прямоугольной области. Обоснованно утверждение о существовании единственного решения поставленной задачи методом Фурье.

Статья в формате PDF

471 KB

задача Дирихле

уравнение смешанного параболо-гиперболического типа

единственность и существование решения

равномерная сходимость

метод Фурье

1. Ватсон Т.Н. Теория бесселевых функций. – М.: ИЛ, 1949. – 220 с.

2. Вахания Н.Н. О задаче Дирихле для уравнения колебания струны // Сообщ. АН Груз.ССР. – 1958. – Т. 21, №2. – С. 131-138.

3. Елеев В.А., Гучаева З.Х. Нелокальная краевая задача для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в прямоугольной области // Известия Кабардино-Балкарского государственного университета. – 2011. – Т.1, №1. – С. 9-21.

4. Елеев В.А., Кумыкова С.К. Внутреннекраевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. – 2010. – №5. – С. 5-14.

5. Кумыкова С.К. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. – 1981. – т. 17, №1. – С. 81-90.

6. Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения // Дифференциальные уравнения. – 1976. – т. 12, №1. – С. 79-88.

7. Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференциальные уравнения. – 1978. – т. 14, №1. – С. 50-65.

8. Репин О.А., Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Дифференциальные уравнения. – 2012. – т. 48, №8. – С. 1140-1149.

9. Нахушев А.М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дифференциальные уравнения. – 1970. – Т. 6, №1. – С. 190-191.

10. Cannon J.R/ Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient // Ann. Math pura ad appl. – 1963. – Vol.62. – P.371-377.

Классические краевые задачи для эллиптических уравнений, такие как задачи Дирихле, Неймана, общая краевая задача перестают быть корректными для уравнений смешанного типа. В работах Н.Н. Вахания [2], J.R. Cannon [10] доказана корректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в прямоугольных областях. А.М. Нахушевым [9] установлено, что задача Дирихле для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в конечной смешанной области, ограниченной в верхней полуплоскости кусочно-гладкой кривой, содержащей интервал (0,1) прямой , а гиперболическая часть области квадрат, всегда разрешима и притом единственным образом.

Цель исследования: доказать существование и единственность решения аналога задачи Дирихле для уравнения смешанного параболо – гиперболлического типа.

Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

(1)

где , , в конечной области W, ограниченной отрезками А2А1, А1В1, В1В2, В2А2 прямых х=0, у=a>0, x=1, y=–b (b>0), соответственно и характеристиками уравнения (1) при

;

.

Обозначим через , параболическую и гиперболическую части области W соответственно; АВ.

Задача. В области W найти решение u=u(x,y) из класса

удовлетворяющее краевым условиям

(2)

(3)

и условию сопряжения

, (4)

где – заданная функция.

Теорема 1. Если выполнены условия:

1) ;

2) ;

3) , (5)

где – функции Бесселя первого рода порядка , то решение задачи (1) – (4) существует и единственно.

Доказательство единственности решения поставленной задачи аналогично [3].

Докажем существование решения задачи (1)-(4).

В области W, решение поставленной задачи будем искать методом разделения переменных.

Решение задачи (1)-(4) выписывается в явном виде

(6)

где ; (7)

(8)

– коэффициенты Фурье функции y-b (х).

Ряды (6) также как и ряды, полученные почленным двукратным дифференцированием, сходятся абсолютно и равномерно в Ω1 и Ω2.

В самом деле, покажем, что ряд

(9)

где – определяется формулой (7), действительно является регулярным решением задачи (1) – (4) в области Ω1. Для этого ниже мы покажем непрерывность как самой функции так и ее производных до второго порядка включительно.

Используя условия (1), (2) теоремы 1, проинтегрировав равенство

по частям, нетрудно показать, что коэффициенты Фурье граничной функции y-b (х) не превосходят величины .

Пользуясь неравенством

,

заключаем, что ряд

(10)

является мажорантным для ряда (9). Отсюда заключаем сходимость ряда (10), и, следовательно, равномерномерную сходимость ряда (9), и непрерывность функции .

Аналогично можно установить равномерную сходимость продифференцированных рядов до второго порядка включительно:

Обратимся теперь к равенству

(11)

где

Докажем, что решение, представленное рядом (11), действительно является регулярным в области . Для этого мы покажем равномерную сходимость как ряда (11), так и рядов, почленно продифференцированных два раза по переменным х, у, т.е.

.

Известно [1], что функции

и

являются непрерывными и ограниченными. Это следует из свойств бесселевых функций первого рода.

Лемма 1. Для всех n и y ∈[-b; 0] существует постоянная k1>0, такая, что

|An(y)| ≤ k1, (12)

где .

Доказательство: Из свойств бесселевых функций первого рода, следует, что функция An(y) является непрерывной по переменной у на отрезке [-b; 0] . Следовательно, она ограничена.

При n→ ∝ для любого y∈[-b; 0] функция An(y) является бесконечно малой, порядка .

Действительно,

где при n→ ∝,

.

Таким образом, при всех y∈ [-b; 0] и n∈N постоянная k1 такая, что справедлива оценка (12).Известно, что .

Справедливы утверждения:

Лемма 2. Для всех n∈N и любого y∈ [-b; 0] существует постоянная k2>0 такая, что

|Вn(y)| ≤ k2 ,

где .

Лемма 3. Для всех n∈N и любого y∈[-b; 0] существуют постоянные k3>0 и k4>0 такие, что

|Dn(y)| ≤ n k3, |Сn(y)| ≤ n k4,

где

,

Лемма 4. Для всех n∈N и любого y∈ [-b; 0] существуют постоянные k5>0 и k6>0 такие, что

|Ln(y)| ≤ n2 k5, |Wn(y)| ≤ n2 k6

где

,

Доказательство лемм 2-4 проводится аналогично доказательству леммы 1.

Предположим, что y-b(х) непрерывно дифференцируема до третьего порядка включительно. В силу того, что y-b(0) =y-b (1)=0 ее можно продолжить непрерывно на интервале [0,1] . Обозначим через периодическую на всей действительной оси функцию, которая является периодическим продолжением функции y-b(х). Будем предполагать, что является также непрерывно дифференцируемой функцией до третьего порядка включительно.

Продолженную функцию можно представить в виде ряда Фурье на всей оси. При изменении аргумента x в пределах 0≤ х≤ 1 полученный ряд будет совпадать с граничной функцией y-b (х).

Таким образом, с помощью лемм 1–4 и выше приведенной теоремы 1 можно утверждать справедливость следующей теоремы

Теорема 2. Пусть числовой ряд сходится.

Тогда:

Ряды u(x,y), ux(x,y), uy(x,y) сходятся абсолютно и равномерно в замкнутой области W.

Ряды uxx(x,y) и uyy(x,y) сходятся абсолютно и равномерно в области W.

Следует отметить, что нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа исследовались также в работах [4-8].

Библиографическая ссылка