Рассматривается динамическая обратная задача для уравнения акустики. Для применения градиентного метода Ландвебера, разрабатывается вычислительные методы решения нелинейной обратной задачи акустики. Доказываем условную устойчивость решения системы нелинейных уравнений Вольтерра [1] и определям константы устойчивости (постоянные Липшица).
Определение 1. (Класс решений обратной задачи). Будем говорить, что 
, если s(x) удовлетворяет следующим условиям [5]:
Определение 2. (Класс исходных данных). Будем говорить, что 
, если g удовлетворяет следующим условиям [5]:
Объекты и методы исследований [6]
Предположим, что для для 
из класса 
существуют 
, удовлетворяющие обратной задаче
(1)
(2)
(3)
(4)
для j = 1 и j = 2.
Учитывая, что
,
обозначим
(5)
Поскольку 
то в силу обозначений можно оценить
(6)
где 
. Пусть вектор-функция 
удовлетворяет системе
(7)
Решение задачи Aq = f предполагается, но утверждается, что существует единственное устойчивое решение для данных из окрестности точно заданных, то есть накладывается ограничение на шум во входных данных.
Для условной корректности рассматриваемой задачи, в отличие от аналогичной теоремы в [2] в нижеприведенной теореме при выводе требуемой константы в основном неравенстве использовалась не оценка вектора q, а оценки
каждой из его компонент q1, q2, q3. В работе [2] в выкладках норма каждой компоненты оценивалась через норму вектора q, так как оценка нормы вектора q есть сумма оценок его компонент. А в данной статье, как сказано, выше, уже использовались непосредственно оценки каждой из его компонент q1, q2, q3
Теорема. Предположим, что для 
, существуют решения обратной задачи 
(8)
Тогда
(9)
Здесь
. (10)
Доказательство. Введем
Тогда из (8) следует
Оценим первую компоненту 
:
+
Учитывая, что 
для 
, получим
+
(11)
Имеем
×
≤
(12)
Оценим вторую компоненту:
Следовательно,
(13)
Оценим 
:
(14)
где
Во-первых, мы имеем
Во-вторых,
(15)
В-третьих,
(16)
В-четвертых,
(17)
Принимая во внимание 
получим 
Таким образом, имеем
Для удобства обозначим
Введем обозначения
(18)
Введем функцию
(19)
Следовательно [3]
и, применяя неравенство Гронуолла, получим
С другой стороны, учитывая равенство
имеем
Таким образом, получаем
×
+
=
Получим оценку для 
По лемме Гронуолла имеем
В итоге получаем
(20)
где
Учитывая, что 
получим
(21)
Складывая оценки получим
где 
.
Результаты и их обсуждение
Теорема 1.5. Пусть для 
из класса 
существуют
как решения обратной задачи (1)–(4) соответственно. Тогда
где
×
×
+
Заключение, выводы. Для доказательства условной корректности рассматриваемой задачи, доказано теорема, где в отличие от аналогичной теоремы в [3] в вышеприведенной теореме при выводе требуемой константы в основном неравенстве использовалась не оценка вектора q, а оценки каждой из его компонент 
В работе [3] в выкладках норма каждой компоненты оценивалась через норму вектора q, так как оценка нормы вектора q есть сумма оценок его компонент. А в данной работе, как сказано, выше, уже использовались непосредственно оценки каждой компоненты.