Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,736

УСЛОВНАЯ КОРРЕКТНОСТЬ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ АКУСТИКИ

Тюлепбердинова Г.А. 1 Абишева А.Ж. 1
1 РГП «Казахский национальный педагогический университет им. Абая»
1. Кабанихин С.И., Искаков К.Т. Обратные и некорректные задачи для гиперболических уравнений. – Алматы: КазНПУ им. Абая, 2007. – 330 с.
2. Tyulepberdinova G.A., Nurseitova А.Т. The finite difference method of solving 1d inverse acoustic problem // Abstract of the 3d congress of the world mathematical society of the Turkic countries / al Farabi KazNU. – Almaty, 2009. Vol. 2, № 6. – P. 66-67.
3. Кабанихин С.И., Бектемесов М.А., Нурсеитова А.Т. Итерационные методы решения обратных и некорректных задач с данными на части границы. – Алматы: Международный фонд обратных задач, 2006. – 432 c.
4. Нурсеитова А.Т., Тюлепбердинова Г.А. Сходимость метода итераций Ландвебера для решения задачи определения акустической жесткости // Вестник КазНПУ: Серия «физико-математические науки»- 2008.- Т. 21, № 1. – С. 215-217.
5. Kabanikhin S.I., Ayapbergenova A.T. Estimation of the rate of convergence of the Landweber iteration method in an inverse problem of acoustics // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. – 2002. – Vol. 2. – P. 75-97.
6. Кабанихин С.И., Искаков К. Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач. – Новосибирск: НГУ, 2001. – 316 с.

Рассматривается динамическая обратная задача для уравнения акустики. Для применения градиентного метода Ландвебера, разрабатывается вычислительные методы решения нелинейной обратной задачи акустики. Доказываем условную устойчивость решения системы нелинейных уравнений Вольтерра [1] и определям константы устойчивости (постоянные Липшица).

Определение 1. (Класс решений обратной задачи). Будем говорить, что tdop1.wmf, если s(x) удовлетворяет следующим условиям [5]:

tdop2.wmf tdop3.wmf

tdop4.wmf tdop5.wmf

Определение 2. (Класс исходных данных). Будем говорить, что tdop6.wmf, если g удовлетворяет следующим условиям [5]:

tdop7.wmf tdop8.wmf tdop9.wmf

Объекты и методы исследований [6]

Предположим, что для для tdop10.wmf из класса tdop11.wmf существуют tdop12.wmf, удовлетворяющие обратной задаче

tdop13.wmf (1)

tul1.wmf (2)

tul2.wmf (3)

tul3.wmf (4)

для j = 1 и j = 2.

Учитывая, что

tul4.wmf,

обозначим

tul5.wmf tul6.wmf

tul7.wmf tul8.wmf (5)

tul9.wmf tul10.wmf tul11.wmf

Поскольку tul12.wmf то в силу обозначений можно оценить

tul13.wmf (6)

где tul14.wmf. Пусть вектор-функция tul15.wmf удовлетворяет системе

tul16.wmf (7)

Решение задачи Aq = f предполагается, но утверждается, что существует единственное устойчивое решение для данных из окрестности точно заданных, то есть накладывается ограничение на шум во входных данных.

Для условной корректности рассматриваемой задачи, в отличие от аналогичной теоремы в [2] в нижеприведенной теореме при выводе требуемой константы в основном неравенстве использовалась не оценка вектора q, а оценки

tul17.wmf

tul18.wmf

tul19.wmf

каждой из его компонент q1, q2, q3. В работе [2] в выкладках норма каждой компоненты оценивалась через норму вектора q, так как оценка нормы вектора q есть сумма оценок его компонент. А в данной статье, как сказано, выше, уже использовались непосредственно оценки каждой из его компонент q1, q2, q3

Теорема. Предположим, что для tul20.wmf, существуют решения обратной задачи tul21.wmf

tul22.wmf (8)

Тогда

tul23.wmf (9)

Здесь

tul24.wmf

tul25.wmf

tul26.wmftul27.wmf. (10)

Доказательство. Введем

tul28.wmf

tul29.wmf

tul30.wmf

Тогда из (8) следует

tul31.wmf

Оценим первую компоненту tul32.wmf:

tul33.wmftul34.wmf+

tul35.wmf

Учитывая, что tul36.wmf для tul37.wmf, получим

tul38.wmftul39.wmf+

tul40.wmf (11)

Имеем

tul41.wmftul42.wmf×

tul43.wmf

tul44.wmftul45.wmf (12)

Оценим вторую компоненту:

tul46.wmftul47.wmf

Следовательно,

tul48.wmf (13)

Оценим tul49.wmf:

tul50.wmf (14)

где

tul51.wmftul52.wmf

tul53.wmftul54.wmf

Во-первых, мы имеем

tul55.wmf

Во-вторых,

tul56.wmf

tul57.wmf (15)

В-третьих,

tul59.wmftul60.wmf (16)

В-четвертых,

tul61.wmftul62.wmf (17)

Принимая во внимание tul63.wmf

получим tul64.wmf tul65.wmf

tul66.wmftul67.wmf

tul68.wmf

Таким образом, имеем

tul69.wmftul70.wmf

tul71.wmftul72.wmf

tul73.wmftul74.wmf

Для удобства обозначим

tul75.wmf

Введем обозначения

tul76.wmftul77.wmf

tul78.wmf

tul79.wmf

tul80.wmf (18)

Введем функцию

tul81.wmf (19)

Следовательно [3]

tul82.wmf

и, применяя неравенство Гронуолла, получим

tul83.wmf

С другой стороны, учитывая равенство

tul84.wmf

имеем

tul85.wmf

tul86.wmftul87.wmf

tul88.wmftul89.wmftul90.wmf

Таким образом, получаем

tul91.wmf×

tul92.wmftul93.wmf+

tul94.wmftul95.wmf=

tul96.wmf

tul97.wmf

tul98.wmftul99.wmf

Получим оценку для tul100.wmf

По лемме Гронуолла имеем

tul101.wmf

В итоге получаем

tul102.wmftul103.wmf (20)

где

tul104.wmf

Учитывая, что tul105.wmf получим

tul106.wmf (21)

Складывая оценки получим

tul107.wmf

где tul108.wmf.

Результаты и их обсуждение

Теорема 1.5. Пусть для tul109.wmf из класса tul110.wmf существуют

tul111.wmf

как решения обратной задачи (1)–(4) соответственно. Тогда

tul112.wmf

tul113.wmf

где

tul114.wmf

tul115.wmf

tul116.wmftul117.wmf

tul118.wmf×

tul119.wmf×

tul120.wmftul121.wmf+

tul122.wmf

Заключение, выводы. Для доказательства условной корректности рассматриваемой задачи, доказано теорема, где в отличие от аналогичной теоремы в [3] в вышеприведенной теореме при выводе требуемой константы в основном неравенстве использовалась не оценка вектора q, а оценки каждой из его компонент tul123.wmf В работе [3] в выкладках норма каждой компоненты оценивалась через норму вектора q, так как оценка нормы вектора q есть сумма оценок его компонент. А в данной работе, как сказано, выше, уже использовались непосредственно оценки каждой компоненты.


Библиографическая ссылка

Тюлепбердинова Г.А., Абишева А.Ж. УСЛОВНАЯ КОРРЕКТНОСТЬ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ АКУСТИКИ // Успехи современного естествознания. – 2014. – № 3. – С. 175-180;
URL: http://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=33284 (дата обращения: 19.10.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074