В настоящее время теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Одним из важнейших классов уравнений с частными производными являются нагруженные уравнения смешанного типа. Подробная библиография по исследованиям локальных и нелокальных краевых задач для нагруженных уравнений содержится в [10].
Цель исследования: доказать существование и единственность решения нелокальной задачи для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.
Постановка задачи
В области
рассматривается нагруженное уравнение третьего порядка с кратными характеристиками
(1)
Задача. Найти регулярное в области D решение 
уравнения (1) из класса 
с непрерывной вплоть до 
производной первого порядка по x, удовлетворяющее условиям:
(2)
(3)
, (4)
где 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
– заданные функции, непрерывные в замыкании области их определения; 
– фиксированная точка интервала 
, причем 
.
Рассмотрим сначала случай, когда 
, тогда уравнение (1) примет вид
. (5)
Пусть существует решение 
задачи (1) – (4) и
(6)
Из свойств функции Грина 
[6] заключаем, что решение 
задачи (1) – (3), (6) в области D представимо в виде
(7)
где 
.
Обозначая 
, получаем из (7) интегральное уравнение Вольтерра второго рода
(8)
которое однозначно разрешимо в классе непрерывных функций, где 
– известная, достаточно гладкая функция.
Таким образом, решение задачи (1) – (3) при выполнении условия (7) имеет вид
(9)
где 
– резольвента ядра 
.
Дифференцируя (9) по x, и подставляя 
в краевое условие (4), после несложных преобразований получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно неизвестной функции 
:
(10)
которое однозначно и безусловно разрешимо, где 
, 
– известные достаточно гладкие функции.
По найденному 
определяется 
. Таким образом, решение задачи (1) – (4) существует, единственно, и определяется формулой (9).
Пусть теперь 
. Опираясь на свойства функции Грина для задачи (1) – (3) и 
, будем иметь
(11)
Из (11) интегрированием по частям, получим
(12)
где 
Обращая (12) через резольвенту 
ядра 
, будем иметь
(13)
После преобразования (13), получим
(14)
где 
и 
функции, свойства которых хорошо известны [7]. Полагая в (13) 
и считая правую часть известной, получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно 
:
которое имеет единственное решение [11].
Найденное значение 
подставим в равенство (14). Удовлетворяя его граничному условию (4), снова получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно 
, которое однозначно разрешимо, т.к. 
[7].
Отметим, что нелокальные задачи для уравнения смешанного типа исследовались также в работах [1-5, 8, 9, 12].