Научный журнал

Успехи современного естествознания

ISSN 1681-7494

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,775

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Водахова В.А. 1 Гучаева З.Х. 1

---

1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» Министерства образования и науки РФ

Для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками исследован вопрос однозначной разрешимости нелокальной краевой задачи.

Статья в формате PDF

2859 KB

нелокальная задача

нагруженное уравнение

уравнение Вольтерра

функция Грина

1. Абрегов М.Х., Гучаева З.Х. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа // Успехи современного естествознания. – 2013. – №11. – С.126-129.

2. Водахова В.А. Краевая задача для параболического уравнения с дробными производными в граничных условиях // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Всероссийской научной конференции. – 2004. – Т. 3. – С. 41-43.

3. Водахова В.А., Гучаева З.Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с разрывными коэффициентами // Успехи современного естествознания. – 2013. – №11. – С.136-140.

4. Водахова В.А., Шамеева К.А. Задачи со смещением для системы уравнений первого порядка Лыкова // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. – 2013. – №2(52). – С.3-7.

5. Гучаева З.Х., Бесланеева Л.Ю. Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического уравнения с операторами дробного интегро-дифференцирования в краевом условии // Успехи современного естествознания. – 2014. – №3. – С.81-87.

6. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. – Ташкент: ФАН, 1979. – 120 с.

7. Елеев В.А., Кумыкова С.К. Внутреннекраевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. – 2010. – №5. – С. 5-14.

8. Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения // Дифференциальные уравнения. – 1976. – Т. 12, №1. – С. 79-88.

9. Кумыкова С.К. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. – 1981. – Т. 17, №1. – С. 81-90

10. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. КБНЦ РАН – М.: Наука. – 2012. – 232 с

11. НахушевА.М. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференц. уравнения. – 1979. – Т. 15, № 12. – С. 96–105.

12. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения. // Вестник Самарского государственного университета. Естественно-научная серия. – 2012. – №9(100). – С. 52–60.

В настоящее время теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Одним из важнейших классов уравнений с частными производными являются нагруженные уравнения смешанного типа. Подробная библиография по исследованиям локальных и нелокальных краевых задач для нагруженных уравнений содержится в [10].

Цель исследования: доказать существование и единственность решения нелокальной задачи для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.

Постановка задачи

В области

рассматривается нагруженное уравнение третьего порядка с кратными характеристиками

(1)

Задача. Найти регулярное в области D решение уравнения (1) из класса с непрерывной вплоть до производной первого порядка по x, удовлетворяющее условиям:

(2)

(3)

, (4)

где , , , , , , , – заданные функции, непрерывные в замыкании области их определения; – фиксированная точка интервала , причем .

Рассмотрим сначала случай, когда , тогда уравнение (1) примет вид

. (5)

Пусть существует решение задачи (1) – (4) и

(6)

Из свойств функции Грина [6] заключаем, что решение задачи (1) – (3), (6) в области D представимо в виде

(7)

где .

Обозначая , получаем из (7) интегральное уравнение Вольтерра второго рода

(8)

которое однозначно разрешимо в классе непрерывных функций, где – известная, достаточно гладкая функция.

Таким образом, решение задачи (1) – (3) при выполнении условия (7) имеет вид

(9)

где – резольвента ядра .

Дифференцируя (9) по x, и подставляя в краевое условие (4), после несложных преобразований получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно неизвестной функции :

(10)

которое однозначно и безусловно разрешимо, где , – известные достаточно гладкие функции.

По найденному определяется . Таким образом, решение задачи (1) – (4) существует, единственно, и определяется формулой (9).

Пусть теперь . Опираясь на свойства функции Грина для задачи (1) – (3) и , будем иметь

(11)

Из (11) интегрированием по частям, получим

(12)

где

Обращая (12) через резольвенту ядра , будем иметь

(13)

После преобразования (13), получим

(14)

где и функции, свойства которых хорошо известны [7]. Полагая в (13) и считая правую часть известной, получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно :

которое имеет единственное решение [11].

Найденное значение подставим в равенство (14). Удовлетворяя его граничному условию (4), снова получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно , которое однозначно разрешимо, т.к. [7].

Отметим, что нелокальные задачи для уравнения смешанного типа исследовались также в работах [1-5, 8, 9, 12].

Библиографическая ссылка