Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Водахова В.А. 1 Гучаева З.Х. 1
1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» Министерства образования и науки РФ
Для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками исследован вопрос однозначной разрешимости нелокальной краевой задачи.
нелокальная задача
нагруженное уравнение
уравнение Вольтерра
функция Грина
1. Абрегов М.Х., Гучаева З.Х. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа // Успехи современного естествознания. – 2013. – №11. – С.126-129.
2. Водахова В.А. Краевая задача для параболического уравнения с дробными производными в граничных условиях // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Всероссийской научной конференции. – 2004. – Т. 3. – С. 41-43.
3. Водахова В.А., Гучаева З.Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с разрывными коэффициентами // Успехи современного естествознания. – 2013. – №11. – С.136-140.
4. Водахова В.А., Шамеева К.А. Задачи со смещением для системы уравнений первого порядка Лыкова // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. – 2013. – №2(52). – С.3-7.
5. Гучаева З.Х., Бесланеева Л.Ю. Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического уравнения с операторами дробного интегро-дифференцирования в краевом условии // Успехи современного естествознания. – 2014. – №3. – С.81-87.
6. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. – Ташкент: ФАН, 1979. – 120 с.

7. Елеев В.А., Кумыкова С.К. Внутреннекраевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. – 2010. – №5. – С. 5-14.

8. Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения // Дифференциальные уравнения. – 1976. – Т. 12, №1. – С. 79-88.
9. Кумыкова С.К. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. – 1981. – Т. 17, №1. – С. 81-90
10. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. КБНЦ РАН – М.: Наука. – 2012. – 232 с
11. НахушевА.М. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференц. уравнения. – 1979. – Т. 15, № 12. – С. 96–105.
12. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения. // Вестник Самарского государственного университета. Естественно-научная серия. – 2012. – №9(100). – С. 52–60.

В настоящее время теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Одним из важнейших классов уравнений с частными производными являются нагруженные уравнения смешанного типа. Подробная библиография по исследованиям локальных и нелокальных краевых задач для нагруженных уравнений содержится в [10].

Цель исследования: доказать существование и единственность решения нелокальной задачи для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.

Постановка задачи

В области

guchaev1.wmf

рассматривается нагруженное уравнение третьего порядка с кратными характеристиками

guchaev2.wmf (1)

Задача. Найти регулярное в области D решение guchaev3.wmf уравнения (1) из класса guchaev4.wmf с непрерывной вплоть до guchaev5.wmf производной первого порядка по x, удовлетворяющее условиям:

guchaev6.wmf (2)

guchaev7.wmf (3)

guchaev8.wmf guchaev9.wmf, (4)

где guchaev10.wmf, guchaev11.wmf, guchaev12.wmf, guchaev13.wmf, guchaev14.wmf, guchaev15.wmf, guchaev16.wmf, guchaev17.wmf – заданные функции, непрерывные в замыкании области их определения; guchaev18.wmf – фиксированная точка интервала guchaev19.wmf, причем guchaev20.wmf.

Рассмотрим сначала случай, когда guchaev21.wmf, тогда уравнение (1) примет вид

guchaev22.wmf. (5)

Пусть существует решение guchaev23.wmf задачи (1) – (4) и

guchaev24.wmf (6)

Из свойств функции Грина guchaev25.wmf[6] заключаем, что решение guchaev26.wmf задачи (1) – (3), (6) в области D представимо в виде

guchaev28.wmf

guchaev29.wmf

guchaev30.wmf (7)

где guchaev31.wmf.

Обозначая guchaev32.wmf, получаем из (7) интегральное уравнение Вольтерра второго рода

guchaev33.wmf (8)

которое однозначно разрешимо в классе непрерывных функций, где guchaev34.wmf – известная, достаточно гладкая функция.

Таким образом, решение задачи (1) – (3) при выполнении условия (7) имеет вид

guchaev35.wmf

guchaev36.wmf

guchaev37.wmf (9)

где guchaev38.wmf – резольвента ядра guchaev39.wmf.

Дифференцируя (9) по x, и подставляя guchaev40.wmf в краевое условие (4), после несложных преобразований получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно неизвестной функции guchaev41.wmf:

guchaev42.wmf (10)

которое однозначно и безусловно разрешимо, где guchaev43.wmf, guchaev44.wmf – известные достаточно гладкие функции.

По найденному guchaev45.wmf определяется guchaev46.wmf. Таким образом, решение задачи (1) – (4) существует, единственно, и определяется формулой (9).

Пусть теперь guchaev47.wmf. Опираясь на свойства функции Грина для задачи (1) – (3) и guchaev48.wmf, будем иметь

guchaev49.wmf

guchaev50.wmf (11)

Из (11) интегрированием по частям, получим

guchaev51.wmf (12)

где guchaev52.wmf

guchaev53.wmf

guchaev54.wmf

Обращая (12) через резольвенту guchaev55.wmf ядра guchaev56.wmf, будем иметь

guchaev57.wmf

guchaev58.wmf

guchaev59.wmf

guchaev60.wmf (13)

После преобразования (13), получим

guchaev61.wmf (14)

где guchaev62.wmf и guchaev63.wmf функции, свойства которых хорошо известны [7]. Полагая в (13) guchaev64.wmf и считая правую часть известной, получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно guchaev65.wmf:

guchaev66.wmf

которое имеет единственное решение [11].

Найденное значение guchaev67.wmf подставим в равенство (14). Удовлетворяя его граничному условию (4), снова получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно guchaev68.wmf, которое однозначно разрешимо, т.к. guchaev69.wmf [7].

Отметим, что нелокальные задачи для уравнения смешанного типа исследовались также в работах [1-5, 8, 9, 12].


Библиографическая ссылка

Водахова В.А., Гучаева З.Х. НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ // Успехи современного естествознания. – 2014. – № 7. – С. 90-92;
URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=34150 (дата обращения: 18.10.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074