Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
(1)
где 
– действительная постоянная, причем 
, в характеристическом двуугольнике, ограниченном характеристиками AC, BC уравнение (1), выходящими из точки C(1/2, 1), и характеристиками AD, BD, выходящими из точки D (1/2, –1).
Пусть
I – интервал 
прямой 
.
Задача. Найти решение
уравнения (1) из класса
удовлетворяющее краевым условиям:
(2)
(3)
и условию сопряжения
(4)
где 
– заданные функции, причем
∈
– операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования [12], 
– аффикс точки пересечения характеристики уравнения (1), выходящей из точки 
, с характеристикой АС.
Отметим, что задача относится к классу краевых задач со смещением сформулированных А.М. Нахушевым [7].
Нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений рассматривались и другими авторами [2–5, 8–11].
Доказательство единственности решения задачи
Теорема. В области 
не может существовать более одного решения задачи, если
,
Доказательство. Для доказательства единственности решения задачи воспользуемся методикой, приведенной в работах [8–11].
Пусть
, 
, 
.
Пусть 
. Известно, что решение задачи Коши для уравнения (1) имеет вид [1].
(5)
где
.
Удовлетворяя (5) краевому условию (2), будем иметь
(6)
Вычислим
.
Подставляя 
в краевое условие (3), будем иметь
(7)
Преобразовав (7) с учетом свойств операторов дробного интегро-дифференцирования, получим
(8)
Преобразовав (6), из области 
получим соотношение, принесенное на J
(9)
.
После дальнейших упрощений (9) примет вид:
(10)
Подействовав на обе части (8) оператором 
будем иметь:
(11)
Таким образом, функциональные соотношения между 
и 
, принесенные на части 
и 
смешанной области 
имеют вид (10), (11) или при 
соответственно
(12)
(13)
где
Докажем теорему единственности. Рассмотрим интеграл
.
С учетом обозначения
и воспользовавшись известной формулой для функции 
:
. (14)
Полагая в ней 
, вычислениями, аналогичным [10-11] , получим:
Отсюда заключаем, что 
.
Точно также, обозначив
будем иметь
Отсюда видно, что при выполнении условий теоремы 
. А так как при 
то 
Поскольку слагаемые в 
неотрицательны, то они также равны нулю. В частности,
.
Так как 
, то
для всех 
, в частности, при 
. При таких значениях 
функции 
, 
образуют полную ортогональную систему функций в 
.
Следовательно, 
почти всюду, а так как они непрерывны по условию, то 
всюду. Отсюда нетрудно усмотреть, что 
и, следовательно, и 
.
Таким образом, 
как решения задачи Коши с нулевыми данными и, следовательно, решение задачи (1) – (4) единственно.
Доказательство существования решения задачи
Удовлетворив (10), (11) условию сопряжения (4), а затем подействовав на обе части уравнения оператором 
, получим
, (15)
где
.
Уравнение (15) с учетом свойств операторов дробного интегро-дифференцирования и исследования правой части эквивалентно редуцируется к сингулярному интегральному уравнению
, (16)
где
,
.
,
.
Условие
гарантирует существование регулятора [6], приводящего уравнение (16) к уравнению Фредгольма второго рода при
.
Из возможности приведения задачи к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода и единственности искомого решения, следует существование решения поставленной задачи. По найденному 
определяются 
, 
по формулам (10), (11).
Решение задачи 
в областях 
и 
находится как решение задачи Коши с данными 
, 
.