Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БИЦАДЗЕ-ЛЫКОВА

Водахова В.А. 1 Нахушева Ф.М. 1 Гучаева З.Х. 1
1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»
Для вырождающегося гиперболического уравнения исследован вопрос о существовании решения задачи с нелокальными условиями на характеристиках для уравнения Бицадзе-Лыкова.
краевая задача
оператор дробного интегрирования
оператор дробного дифференцирования
задача Коши
уравнение Фредгольма
уравнение Бицадзе-Лыкова
1. Бицадзе А.В. некоторые классы уравнения в частных производных. – М.: Наука, 1981.
2. Водахова В.А., Гучаева З.Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного параболо–гиперболического типа с разрывными коэффициентами // Успехи современного естествознания. – 2013. – №11. – С. 136–140.
3. Водахова В.А., Шамеева К.А. Задачи со смещением для системы уравнений первого порядка Лыкова // Известия Кабардино–Балкарского научного центра РАН. – 2013. – №2(52). – С.3–7.
4. Водахова В.А., Гучаева З.Х. Нелокальная задача со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Успехи современного естествознания. – 2014. – №7. – С. 90–92.
5. Гучаева З.Х., Бесланеева Л.Ю. Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического уравнения с операторами дробного интегро–дифференцирования в краевом условии// Успехи современного естествознания. – 2014. – №3. – С.81–87.
6. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.– М.: Физматиз, – 1962.
7. Нахушев A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных.– М.: Наука, –2006. –287с.
8. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. – 2012. – №9 (100). – С.52–60.
9. Репин О.А., Кумыкова С.К. Задача с обобщенными операторами дробного дифференцирования для уравнения Бицадзе–Лыкова // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. – 2014. – Т. 16. – №91. – С.24–32.
10. Репин О.А., Кумыкова С.К. Нелокальная задача с дробными производными дробного для уравнения смешанного типа // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2014. – №8. – С.79–85.
11. Репин О.А., Кумыкова С.К. Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико–математические науки». – 2014. – №1 (34). – С.37–47.
12. Самко С. Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

vodah1.wmf (1)

где vodah2.wmf – действительная постоянная, причем vodah3.wmf, в характеристическом двуугольнике, ограниченном характеристиками AC, BC уравнение (1), выходящими из точки C(1/2, 1), и характеристиками AD, BD, выходящими из точки D (1/2, –1).

Пусть

vodah4.wmf vodah5.wmf

I – интервал vodah6.wmf прямой vodah7.wmf.

Задача. Найти решение

vodah9.wmf

уравнения (1) из класса

vodah10.wmf

удовлетворяющее краевым условиям:

vodah11.wmf (2)

vodah12.wmf (3)

и условию сопряжения

vodah13.wmf (4)

где vodah14.wmf – заданные функции, причем

vodah16.wmfvodah17.wmf

vodah18.wmf – операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования [12], vodah19.wmf – аффикс точки пересечения характеристики уравнения (1), выходящей из точки vodah20.wmf, с характеристикой АС.

Отметим, что задача относится к классу краевых задач со смещением сформулированных А.М. Нахушевым [7].

Нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений рассматривались и другими авторами [2–5, 8–11].

Доказательство единственности решения задачи

Теорема. В области vodah21.wmf не может существовать более одного решения задачи, если

vodah22.wmf,

vodah23.wmf vodah25.wmf

Доказательство. Для доказательства единственности решения задачи воспользуемся методикой, приведенной в работах [8–11].

Пусть

vodah26.wmf, vodah27.wmf, vodah28.wmf.

Пусть vodah29.wmf. Известно, что решение задачи Коши для уравнения (1) имеет вид [1].

vodah30.wmf (5)

где

vodah31.wmf vodah32.wmf.

Удовлетворяя (5) краевому условию (2), будем иметь

vodah33.wmf (6)

Вычислим

vodah34.wmf.

Подставляя vodah35.wmf в краевое условие (3), будем иметь

vodah36.wmf (7)

Преобразовав (7) с учетом свойств операторов дробного интегро-дифференцирования, получим

vodah37.wmf (8)

Преобразовав (6), из области vodah38.wmf получим соотношение, принесенное на J

vodah39.wmf

vodah40.wmf (9)

vodah41.wmf.

После дальнейших упрощений (9) примет вид:

vodah42.wmf (10)

Подействовав на обе части (8) оператором vodah43.wmf будем иметь:

vodah44.wmf (11)

Таким образом, функциональные соотношения между vodah45.wmf и vodah46.wmf, принесенные на части vodah47.wmf и vodah48.wmf смешанной области vodah49.wmf имеют вид (10), (11) или при vodah50.wmfсоответственно

vodah51.wmf (12)

vodah52.wmf (13)

где

vodah53.wmf

Докажем теорему единственности. Рассмотрим интеграл

vodah54.wmf

vodah55.wmf.

С учетом обозначения

vodah56.wmf

и воспользовавшись известной формулой для функции vodah57.wmf:

vodah58.wmf vodah59.wmf. (14)

Полагая в ней vodah60.wmf, вычислениями, аналогичным [10-11] , получим:

vodah61.wmf

vodah62.wmf

vodah63.wmf

Отсюда заключаем, что vodah64.wmf.

Точно также, обозначив

vodah65.wmf

будем иметь

vodah66.wmf

vodah67.wmf

Отсюда видно, что при выполнении условий теоремы vodah68.wmf. А так как при vodah69.wmf

vodah70.wmf то vodah71.wmf

Поскольку слагаемые в vodah72.wmf неотрицательны, то они также равны нулю. В частности,

vodah73.wmf

vodah74.wmf vodah75.wmf.

Так как vodah76.wmf, то

vodah77.wmf vodah78.wmf

для всех vodah79.wmf, в частности, при vodah80.wmf. При таких значениях vodah81.wmf функции vodah82.wmf, vodah83.wmf образуют полную ортогональную систему функций в vodah84.wmf.

Следовательно, vodah85.wmf почти всюду, а так как они непрерывны по условию, то vodah86.wmf всюду. Отсюда нетрудно усмотреть, что vodah87.wmf и, следовательно, и vodah88.wmf.

Таким образом, vodah89.wmf как решения задачи Коши с нулевыми данными и, следовательно, решение задачи (1) – (4) единственно.

Доказательство существования решения задачи

Удовлетворив (10), (11) условию сопряжения (4), а затем подействовав на обе части уравнения оператором vodah90.wmf, получим

vodah91.wmf

vodah92.wmf, (15)

где

vodah93.wmf

vodah94.wmf.

Уравнение (15) с учетом свойств операторов дробного интегро-дифференцирования и исследования правой части эквивалентно редуцируется к сингулярному интегральному уравнению

vodah95.wmf, (16)

где

vodah96.wmf

vodah97.wmf

vodah98.wmf,

vodah99.wmf.

vodah100.wmf,

vodah101.wmf .

Условие

vodah102.wmf

гарантирует существование регулятора [6], приводящего уравнение (16) к уравнению Фредгольма второго рода при

vodah103.wmf.

Из возможности приведения задачи к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода и единственности искомого решения, следует существование решения поставленной задачи. По найденному vodah104.wmf определяются vodah105.wmf, vodah106.wmf по формулам (10), (11).

Решение задачи vodah107.wmf в областях vodah108.wmf и vodah109.wmf находится как решение задачи Коши с данными vodah110.wmf, vodah111.wmf.


Библиографическая ссылка

Водахова В.А., Нахушева Ф.М., Гучаева З.Х. ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БИЦАДЗЕ-ЛЫКОВА // Успехи современного естествознания. – 2015. – № 1-2. – С. 222-227;
URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=34816 (дата обращения: 25.10.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074