Scientific journal

Advances in current natural sciences

ISSN 1681-7494

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,775

Проблема уравнивания геодезических построений является весьма важной процедурой при выполнении высокоточных геодезических измерений и обработке их результатов как в процессе создания опорных геодезических сетей, так и при выполнении точных и высокоточных геодезических работ, выполняемых в составе специальных инженерных изысканий при проектировании прецизионных сооружений и эксплуатации объектов горнодобывающей промышленности. Так, в местах строительства прецизионных сооружений линейного типа, к которым относятся строительно-технологические комплексы линейных ускорителей заряженных частиц, промышленные конвейеры тонких технологий и другие высокотехнологические объекты, создаются точные и высокоточные геодезические построения, обеспечивающие проведение высокоточных и инженерно-геодезических наблюдений. Фигурами таких построений могут быть: цепочки триангуляции и трилатерации, полигонометрические ходы и системы полигонометрических ходов, а также нивелирные ходы, системы нивелирных ходов и цепочек из нивелирных квадратов. Результаты геодезических измерений, в частности высокоточных нивелирований по цепочкам сдвоенных квадратов уравниваний, решают три основные задачи [1, 2]: определение по результатам геодезических измерений надежных значений искомых величин, а также их функций как косвенных результатов измерений оценки точности результатов измерений; оценки точности результатов измерений и функций измеренных величин.

В связи с тем, что устойчивость прецизионного сооружения прямо зависит от микродеформаций горных пород его основания [3, 4], возникает необходимость в исследовании видов таких микродеформаций и их кинематических характеристик. При этом постановка таких исследований предусматривает построение сетей высокоточного нивелирования, конфигурация которых привязана к геометрии сооружения. Так, для прямолинейного прецизионного сооружения (линейные ускорители, интерферометры, промышленные конвейеры тонких технологий и другие) создаются нивелирные сети в виде цепочек квадратов, в частности сдвоенных нивелирных квадратов (рисунок). Порядок обработки результатов высокоточного нивелирования по квадратам предусматривает уравнивание и оценку точности результатов нивелирования.

Основной целью исследования является разработка строгого способа оценки точности результатов нивелирования по квадратам.

Материалы и методы исследования

В соответствии с методом наименьших квадратов может быть вычислена общая формула обратного веса функции уравненных величин для сдвоенных нивелирных рядов из квадратов. Согласно данным о направлениях превышений по звеньям, приведенным на рисунке, условные уравнения поправок для сдвоенных рядов нивелирных квадратов можно предоставить в указанном виде:

I – верхний ряд нивелирных квадратов

(5i) + (5i – 1) + (5i – 2) – (5i – 6) + W2i-1 = 0, (1)

II – нижний ряд нивелирных квадратов

(5i) + (5i – 1) + (5i – 2) – (5i – 3) + W2i = 0, (2)

при текущем номере i от 1 до n.

Уравнивание приращений весовой функции [1] отметки конечной точки K или приращения по нивелирному ходу O-K (O – начальная точка) может быть представлена как при i от 1 до K.

Коэффициенты нормальных уравнений для сдвоенных нивелирных рядов из одинаковых квадратов представляют собой пятидиагональную матрицу и определяются равенствами

при g от 1 до 2n

при g= 1 и g = 2n – 1 (3)

или

при i от 1 до n (4)

Схема сети из сдвоенных нивелирных квадратов

Далее:

при g = 3, 4, …, 2n

и при g = 1, 1, …, 2K (5)

Откуда следует, что [ f f ] = K.

Тогда ошибка уравненной отметки точки равна

при , (6)

где μ – ошибка единицы веса, измеренного превышения стороны квадрата, Q – весовая функция.

Результаты исследования и их обсуждение

Одной из важных задач уравнительных вычислений в отношении нивелирного ряда из сдвоенных квадратов является оценка влияния уравнивания за условия полигонов на обратный вес любого элемента.

Общеизвестно [5–7], что составляющая обратного веса Q, как матрица весовых коэффициентов, определяется равенством

(7)

Раскрывая по общему правилу [1, 8] алгоритмы преобразованных нормальных уравнений, соответствующих условиям полигонов с учетом равенств (3) и (5), в которых [ah ag+1] при h = 1, 2, … (g – 2) имеет вид

(8)

(9)

С учетом значений (1) и (2), получаем

при g = 2, 3, … , 2n+1, (10)

при g = 1, 2, … , 2n-1, (11)

е2i+1 = eнечетн = 1 и е2i = eчетн = 0. (12)

Значение квадратичных членов преобразованных нормальных уравнений коррелат можно представить в виде простых дробей, что убедительно подтверждается в работе, а именно:

(13)

Так как при раскрытии алгоритмов имеем

С учетом условных уравнений поправок (1), а также равенств (3), (4) и (13) после введения обозначений

(14)

получим

(15)

Тогда, с учетом (14) и (15), справедливо равенство

(16)

При E0 = 0 сумма равенств (16) если h = 1, 2, …, g реализуется в виде аналитического выражения

, где h = 1, 2, …, g. (17)

Далее, подставляя в (8) значения (13), (10) и (14) соответствующих алгоритмов, получим в общем виде

(18)

Из последнего равенства после его преобразования получаем

. (19)

Из равенства (19), но с увеличенным на единицу индексом g, приняв во внимание (16), после сокращения на Mg+1, получим основную формулу для последовательного вычисления целых чисел M:

(20)

Равенство (20) при условиях (12) и (17) является рекуррентным уравнением для чисел М, служащих для получения квадратичных членов по формуле (13).

Подставляя в (9) выражения преобразованных и представленных формулами (18), (14) и (10) алгоритмов после сокращений (g+1)-го члена, получим

(21)

Выражая числа в виде простых дробей:

(22)

Из равенства (21) получим формулу для последовательного вычисления значений F:

(23)

Используя равенства (18) и (22), найдем для любого члена формулы

(24)

Рассмотрим последовательные значения сумм Sm:

(25)

Величины Sg можно представить в виде простых дробей, знаменателями которых будут служить числа М, а числителями – новая последовательность целых чисел S:

(26)

Подставляя в общий член последовательности (25) выражения для Sg, Sg-1 и Ug согласно формулам (24) и (26), получим формулу для вычисления каждого последующего значения Sg через предыдущие Sg-1 и числа M и F:

. (27)

По формуле (27) можно последовательно вычислить Sg, начиная с S1, (положив S0 = 0) и заканчивая Sm.

При вычислении Sm получим величину Q, вносимую в обратный вес любого нивелирного ряда условными уравнениями полигонов [9]:

(28)

Последовательно подставляя F1, F2, … в виде разложения по коэффициентам :

(29)

Согласно формуле (29) для вычисления чисел Fg необходимо соединить коэффициенты при содержащиеся в разложениях Fg-1 и Fg-2, что позволяет записать следующее аналитическое выражение для вычисления чисел , а именно:

(30)

Следует показать, что если значения чисел в таблице, в которой g – номер строки, а h – номер столбца, то последовательность чисел по столбцам и строкам удовлетворяют соответственно следующим двум возвратным уравнениям 4-го порядка с периодическими меняющимися коэффициентами е:

– для h-го столбца:

,

при . (31)

– для g-й строки:

,

при . (32)

Начальными членами для φ будут два числа: , (полагая предшествующие числа равными нулю), а числа е определяются равенствами (12).

Значения коэффициентов

Аналогично разложению Fg используем формулы (27) и (29) для последовательного получения S в виде разложения по произведениям :

(33)

причем для последовательного вычисления G получим

. (34)

Величины G, как и M, E, φ, являются целыми положительными числами и определяются возвратным уравнением

,

при . (35)

Из сопоставления формул (33) и (35) видно, что .

Подставив в это выражение с учетом обозначения, получим в окончательном виде формулу для вычисления величины любой весовой функции [9, 10]:

. (36)

Заключение

В результате проведенных теоретических исследований рассмотрены вопросы оценки точности функции уравненных неизвестных. Получена общая формула обратного веса функции уравненных величин для нивелирного ряда из сдвоенных квадратов.