Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,775

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ УРАВНЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НИВЕЛИРНОГО РЯДА ИЗ СДВОЕННЫХ КВАДРАТОВ

Волков Н.В. 1 Волкова Т.Н. 1 Волков В.И. 1
1 ФГБОУ ВО «Санкт-Петербургский архитектурно-строительный университет»
Уравнивание геодезических построений является весьма важной процедурой при выполнении высокоточных геодезических измерений и обработке их результатов как в процессе создания опорных геодезических сетей, так и при выполнении точных и высокоточных геодезических работ, выполняемых в составе специальных инженерных изысканий при проектировании прецизионных сооружений и эксплуатации объектов горнодобывающей промышленности. Так, в местах строительства прецизионных сооружений линейного типа, к которым относятся строительно-технологические комплексы линейных ускорителей заряженных частиц, промышленные конвейеры тонких технологий и другие высокотехнологические объекты, создаются точные и высокоточные геодезические построения, обеспечивающие проведение высокоточных и инженерно-геодезических наблюдений. В статье рассмотрен способ уравнивания фигуры таких построений, которыми могут быть: цепочки триангуляции и трилатерации, полигонометрические ходы и системы полигонометрических ходов, а также нивелирные ходы, системы нивелирных ходов и цепочек из нивелирных квадратов. При проектировании геодезических измерений, производящихся для оценки устойчивости прецизионного сооружения, прямо зависящей от микродеформаций горных пород его основания, возникает необходимость в исследовании видов таких микродеформаций и их кинематических характеристик. При этом постановка таких исследований предусматривает построение сетей высокоточного нивелирования, конфигурация которых привязана к геометрии сооружения. Так, для прямолинейного прецизионного сооружения (линейные ускорители, интерферометры, промышленные конвейеры тонких технологий и другие) создаются нивелирные сети в виде цепочек квадратов, в частности сдвоенных нивелирных квадратов. Рассмотрен порядок обработки результатов высокоточного нивелирования по квадратам, предусматривающий уравнивание и оценку точности результатов нивелирования. Авторами статьи разработан строгий способ оценки точности результатов нивелирования по квадратам. В результате проведенных теоретических исследований рассмотрены вопросы оценки точности функции уравненных неизвестных. Получена общая формула обратного веса функции уравненных величин для нивелирного ряда из сдвоенных квадратов.
нивелирование по квадратам
уравнивание элементов нивелирования по квадратам
оценка точности нивелирного ряда
1. Беликов А.Б., Симонян В.В. Математическая обработка результатов геодезических измерений: учебное пособие. 2-е изд. М.: НИУ МГСУ, 2016. 432 с.
2. Попов В.Н., Чекалин С.И. Геодезия. М.: Горная книга, 2017. 518 с.
3. Большаков В.Д., Левчук Г.П., Новак В.Е. Справочное руководство по инженерно-геодезическим работам. М.: Недра, 1980. 780 с.
4. Volkov V.I., Volkov N.V. Use of the program and goal-oriented approach to observe the vertical displacements of the earth’s surface in Russia. E3S Web of Conferences.TPACEE-2019. 2019. No. 91 (07023). 7 p.
5. Лавров Г.Ф. Оценка точности элементов сдвоенного триангуляционного ряда, уравненного по направлениям. Исследование по геодезии и фотограмметрии: Научные записки № 5. Львов: ЛПИ, 1999. С. 108–140.
6. Волков В.И., Волков Н.В., Волкова Т.Н. Поиск оптимального способа уравнивания результатов повторного нивелирования, выполняемого на геодинамических полигонах // Успехи современного естествознания. 2021. № 11. С. 32–37.
7. Маркузе Ю.И. Обобщенный рекуррентный алгоритм уравнивания свободных и несвободных геодезических сетей с локализацией грубых ошибок // Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка. 2000. № 1. С. 3–16.
8. Шеховцов Г.А. Единый алгоритм уравнивания, оценки точности и оптимизации геодезических засечек. Н. Новгород: ННГАСУ, 2017. 123 с.
9. Дерр В.Я. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов. СПб.: Лань, 2021. 596 с.
10. Simonyan V.V., Shendyapina S.V. Calculating the accuracy of strain observations of high-rise buildings and structures using electronic total stations. E3S Web of Conferences 164. 02022 (2020). TPACEE 2019. 9 p

Проблема уравнивания геодезических построений является весьма важной процедурой при выполнении высокоточных геодезических измерений и обработке их результатов как в процессе создания опорных геодезических сетей, так и при выполнении точных и высокоточных геодезических работ, выполняемых в составе специальных инженерных изысканий при проектировании прецизионных сооружений и эксплуатации объектов горнодобывающей промышленности. Так, в местах строительства прецизионных сооружений линейного типа, к которым относятся строительно-технологические комплексы линейных ускорителей заряженных частиц, промышленные конвейеры тонких технологий и другие высокотехнологические объекты, создаются точные и высокоточные геодезические построения, обеспечивающие проведение высокоточных и инженерно-геодезических наблюдений. Фигурами таких построений могут быть: цепочки триангуляции и трилатерации, полигонометрические ходы и системы полигонометрических ходов, а также нивелирные ходы, системы нивелирных ходов и цепочек из нивелирных квадратов. Результаты геодезических измерений, в частности высокоточных нивелирований по цепочкам сдвоенных квадратов уравниваний, решают три основные задачи [1, 2]: определение по результатам геодезических измерений надежных значений искомых величин, а также их функций как косвенных результатов измерений оценки точности результатов измерений; оценки точности результатов измерений и функций измеренных величин.

В связи с тем, что устойчивость прецизионного сооружения прямо зависит от микродеформаций горных пород его основания [3, 4], возникает необходимость в исследовании видов таких микродеформаций и их кинематических характеристик. При этом постановка таких исследований предусматривает построение сетей высокоточного нивелирования, конфигурация которых привязана к геометрии сооружения. Так, для прямолинейного прецизионного сооружения (линейные ускорители, интерферометры, промышленные конвейеры тонких технологий и другие) создаются нивелирные сети в виде цепочек квадратов, в частности сдвоенных нивелирных квадратов (рисунок). Порядок обработки результатов высокоточного нивелирования по квадратам предусматривает уравнивание и оценку точности результатов нивелирования.

Основной целью исследования является разработка строгого способа оценки точности результатов нивелирования по квадратам.

Материалы и методы исследования

В соответствии с методом наименьших квадратов может быть вычислена общая формула обратного веса функции уравненных величин для сдвоенных нивелирных рядов из квадратов. Согласно данным о направлениях превышений по звеньям, приведенным на рисунке, условные уравнения поправок для сдвоенных рядов нивелирных квадратов можно предоставить в указанном виде:

I – верхний ряд нивелирных квадратов

(5i) + (5i – 1) + (5i – 2) – (5i – 6) + W2i-1 = 0, (1)

II – нижний ряд нивелирных квадратов

(5i) + (5i – 1) + (5i – 2) – (5i – 3) + W2i = 0, (2)

при текущем номере i от 1 до n.

Уравнивание приращений весовой функции [1] отметки конечной точки K или приращения по нивелирному ходу O-K (O – начальная точка) может быть представлена как missing image file при i от 1 до K.

Коэффициенты нормальных уравнений для сдвоенных нивелирных рядов из одинаковых квадратов представляют собой пятидиагональную матрицу и определяются равенствами

missing image file при g от 1 до 2n

missing image file при g= 1 и g = 2n – 1 (3)

missing image file

или

missing image file при i от 1 до n (4)

missing image file

Схема сети из сдвоенных нивелирных квадратов

Далее:

missing image file при g = 3, 4, …, 2n

и missing image file при g = 1, 1, …, 2K (5)

Откуда следует, что [ f f ] = K.

Тогда ошибка уравненной отметки точки равна

missing image file при missing image file, (6)

где μ – ошибка единицы веса, измеренного превышения стороны квадрата, Q – весовая функция.

Результаты исследования и их обсуждение

Одной из важных задач уравнительных вычислений в отношении нивелирного ряда из сдвоенных квадратов является оценка влияния уравнивания за условия полигонов на обратный вес любого элемента.

Общеизвестно [5–7], что составляющая обратного веса Q, как матрица весовых коэффициентов, определяется равенством

missing image file (7)

Раскрывая по общему правилу [1, 8] алгоритмы преобразованных нормальных уравнений, соответствующих условиям полигонов с учетом равенств (3) и (5), в которых [ah ag+1] при h = 1, 2, … (g – 2) имеет вид

missing image file

missing image file (8)

missing image file

missing image file

missing image file (9)

С учетом значений (1) и (2), получаем

missing image file

при g = 2, 3, … , 2n+1, (10)

missing image file при g = 1, 2, … , 2n-1, (11)

е2i+1 = eнечетн = 1 и е2i = eчетн = 0. (12)

Значение квадратичных членов преобразованных нормальных уравнений коррелат можно представить в виде простых дробей, что убедительно подтверждается в работе, а именно:

missing image file (13)

Так как при раскрытии алгоритмов имеем

missing image file

missing image file

С учетом условных уравнений поправок (1), а также равенств (3), (4) и (13) после введения обозначений

missing image file (14)

получим

missing image file

missing image file (15)

Тогда, с учетом (14) и (15), справедливо равенство

missing image file (16)

При E0 = 0 сумма равенств (16) если h = 1, 2, …, g реализуется в виде аналитического выражения

missing image file, где h = 1, 2, …, g. (17)

Далее, подставляя в (8) значения (13), (10) и (14) соответствующих алгоритмов, получим в общем виде

missing image file (18)

Из последнего равенства после его преобразования получаем

missing image file. (19)

Из равенства (19), но с увеличенным на единицу индексом g, приняв во внимание (16), после сокращения на Mg+1, получим основную формулу для последовательного вычисления целых чисел M:

missing image file (20)

Равенство (20) при условиях (12) и (17) является рекуррентным уравнением для чисел М, служащих для получения квадратичных членов по формуле (13).

Подставляя в (9) выражения преобразованных и представленных формулами (18), (14) и (10) алгоритмов после сокращений (g+1)-го члена, получим

missing image file

missing image file (21)

Выражая числа missing image file в виде простых дробей:

missing image file (22)

Из равенства (21) получим формулу для последовательного вычисления значений F:

missing image file (23)

Используя равенства (18) и (22), найдем для любого члена формулы

missing image file (24)

Рассмотрим последовательные значения сумм Sm:

missing image file

missing image file (25)

Величины Sg можно представить в виде простых дробей, знаменателями которых будут служить числа М, а числителями – новая последовательность целых чисел S:

missing image file (26)

Подставляя в общий член последовательности (25) выражения для Sg, Sg-1 и Ug согласно формулам (24) и (26), получим формулу для вычисления каждого последующего значения Sg через предыдущие Sg-1 и числа M и F:

missing image file. (27)

По формуле (27) можно последовательно вычислить Sg, начиная с S1, (положив S0 = 0) и заканчивая Sm.

При вычислении Sm получим величину Q, вносимую в обратный вес любого нивелирного ряда условными уравнениями полигонов [9]:

missing image file (28)

Последовательно подставляя F1, F2, … в виде разложения по коэффициентам missing image file:

missing image file (29)

Согласно формуле (29) для вычисления чисел Fg необходимо соединить коэффициенты при missing image file содержащиеся в разложениях Fg-1 и Fg-2, что позволяет записать следующее аналитическое выражение для вычисления чисел missing image file, а именно:

missing image file (30)

Следует показать, что если значения чисел missing image file в таблице, в которой g – номер строки, а h – номер столбца, то последовательность чисел missing image file по столбцам и строкам удовлетворяют соответственно следующим двум возвратным уравнениям 4-го порядка с периодическими меняющимися коэффициентами е:

– для h-го столбца:

missing image file,

при missing image file. (31)

– для g-й строки:

missing image file,

при missing image file. (32)

Начальными членами для φ будут два числа: missing image file, missing image file (полагая предшествующие числа равными нулю), а числа е определяются равенствами (12).

Значения коэффициентов missing image file

g

Eg

Mg

Значения φ при различных h

1

2

3

4

5

6

7

1

1

1

1

           

2

1

4

1

4

         

3

16

15

4

1

15

       

4

16

56

8

16

16

56

     

5

208

192

16

8

56

16

192

   

6

208

712

47

68

120

225

208

712

 

7

2623

2415

68

47

225

120

712

208

2415

Аналогично разложению Fg используем формулы (27) и (29) для последовательного получения S в виде разложения по произведениям missing image file:

missing image file (33)

причем для последовательного вычисления G получим

missing image file. (34)

Величины G, как и M, E, φ, являются целыми положительными числами и определяются возвратным уравнением

missing image file

missing image file,

при missing image file. (35)

Из сопоставления формул (33) и (35) видно, что missing image file.

Подставив в это выражение missing image file с учетом обозначения, missing image file получим в окончательном виде формулу для вычисления величины любой весовой функции [9, 10]:

missing image file. (36)

Заключение

В результате проведенных теоретических исследований рассмотрены вопросы оценки точности функции уравненных неизвестных. Получена общая формула обратного веса функции уравненных величин для нивелирного ряда из сдвоенных квадратов.


Библиографическая ссылка

Волков Н.В., Волкова Т.Н., Волков В.И. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ УРАВНЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НИВЕЛИРНОГО РЯДА ИЗ СДВОЕННЫХ КВАДРАТОВ // Успехи современного естествознания. – 2023. – № 3. – С. 58-62;
URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=38016 (дата обращения: 29.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674