В работе найдены распределения скоростей и давления в турбулентном потоке жидкости по наклонной плоскости под действием силы тяжести.
1. Постановка задачи. Рассмотрим плоское стационарное турбулентное движение жидкости по наклонной плоскости под действием силы тяжести [1]:
, 
, 
,
. (1)
Здесь 
, 
- проекции средней скорости частиц жидкости на оси Ox, Oz; 
, 
, 
- составляющие тензора напряжений в осредненном движении жидкости:
, 
, 
, (2)
где 
- осредненное гидродинамическое давление.
Функции Rxx, Rxz, Rzz - добавочные напряжения Рейнольдса, представляющие суммарный эффект всех беспорядочных отклонений скоростей 
, 
от их средних значений , . Функции 
, 
- сглаженные нелинейные слагаемые ускорения, порожденные отклонениями скоростей , от их средних значений , . Далее ρ - плотность жидкости, g - ускорение свободного движения, μ - коэффициент внутреннего трения (коэффициент вязкости),
, ν - кинематический коэффициент вязкости. Начало координат выбрано на неподвижной плоскости Oxy, наклоненной к горизонту под углом 
. Ось Oy - горизонтальна, ось Oz направлена перпендикулярно к плоскости вверх, ось Ox лежит в плоскости и направлена вниз по направлению потока.
Считаем, что турбулентное движение жидкости в среднем происходит в направлении оси Ox и, что средняя скорость этого движения существенным образом зависит лишь от координаты z: 
, 
, 
. В этом случае наиболее существенным из добавочных напряжений является лишь 
[1]. То есть, полагаем Rxx=0, Rzz=0. Во многих источниках указывается, что турбулентное трение намного больше внутреннего трения. Поэтому полагаем 
, 
, 
, то есть, фактически рассматриваем турбулентное движение идеальной жидкости без учета внутреннего трения.
Уравнение неразрывности для средних скоростей , и их пульсаций , имеют вид
, 
. (3)
Из первого уравнения (3) при выводим, что 
.
С учетом всех допущений, предположений и выводов из (1) следует
, 
. (4)
Эти уравнения выполняется в области 
, где h - толщина потока. Согласно [1] имеем:
, 
. (5)
Постоянная k определяется из эмпирических данных.
Считаем, что сверху поток ограничен свободной поверхностью, на которой выполняется динамическое условие равенства нормального напряжения в жидкости атмосферному давлению p0. Кинематические условия на свободной поверхности и на дне выполняются автоматически, так как мы полагаем .
Поскольку внутреннее трение не учитывается, то полагаем, что при z=0 касательная к профилю средней скорости направлена перпендикулярно к оси Oz. Это объясняется тем, что при учете вязкости вблизи стенки возникает ламинарный подслой, толщина которого много меньше толщины турбулентного потока, и потому, функция является функцией большого градиента, так как она на малом интервале переменной z меняется от нуля до конечного значения.
Зададим еще расход жидкости 
через поперечное сечение потока и значение скорости на свободной поверхности.
Итак, к системе (4), (5) формулируем следующее граничное условие:
, 
, 
, 
, 
, z=0. (6)
2. Решение задачи (1), (4)-(6). Из второго уравнения в (4) с учетом первого условия в (6) находим 
. Подставляем его в первое уравнение в (4), выводим
, 
. (7)
Из (5), (7) находим
. (8)
Интегрируя (8) с учетом последнего условия в (6), получаем представление для 
:
. (9)
Интегрируя (9) с учетом второго условия в (6) находим через 
, (10)
, 
.
Вычисляя расход по третьей формуле в (6) и считая его известным, выводим уравнение для определения
, (11)
.
Формулы для , (z) и значения , найденное из (11) дают решение поставленной задачи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, ч. II, м., физматгиз 1963 г., 728с.