Научный журнал

Успехи современного естествознания

ISSN 1681-7494

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,775

• Авторы
• Файлы

Потетюнко Э.Н.

Статья в формате PDF

129 KB

В работе найдены распределения скоростей и давления в турбулентном потоке жидкости по наклонной плоскости под действием силы тяжести.

1. Постановка задачи. Рассмотрим плоское стационарное турбулентное движение жидкости по наклонной плоскости под действием силы тяжести [1]:

, , ,

.                     (1)

Здесь ,  - проекции средней скорости частиц жидкости на оси Ox, Oz; , ,  - составляющие тензора напряжений в осредненном движении жидкости:

, , ,             (2)

где  - осредненное гидродинамическое давление.

Функции R_xx, R_xz, R_zz - добавочные напряжения Рейнольдса, представляющие суммарный эффект всех беспорядочных отклонений скоростей ,  от их средних значений , . Функции ,  - сглаженные нелинейные слагаемые ускорения, порожденные отклонениями скоростей  ,   от их средних значений  , . Далее ρ - плотность жидкости, g - ускорение свободного движения, μ - коэффициент внутреннего трения (коэффициент вязкости), , ν - кинематический коэффициент вязкости. Начало координат выбрано на неподвижной плоскости Oxy, наклоненной к горизонту под углом . Ось Oy - горизонтальна, ось Oz направлена перпендикулярно к плоскости вверх, ось Ox лежит в плоскости и направлена вниз по направлению потока.

Считаем, что турбулентное движение жидкости в среднем происходит в направлении оси Ox и, что средняя скорость этого движения существенным образом зависит лишь от координаты z: , , . В этом случае наиболее существенным из добавочных напряжений является лишь  [1]. То есть, полагаем R_xx=0, R_zz=0. Во многих источниках указывается, что турбулентное трение намного больше внутреннего трения. Поэтому полагаем , , , то есть, фактически рассматриваем турбулентное движение идеальной жидкости без учета внутреннего трения.

Уравнение неразрывности для средних скоростей  ,   и их пульсаций  ,   имеют вид

, .           (3)

Из первого уравнения (3) при  выводим, что .

С учетом всех допущений, предположений и выводов из (1) следует

, .                    (4)

Эти уравнения выполняется в области , где h - толщина потока. Согласно [1] имеем:

, .                        (5)

Постоянная k определяется из эмпирических данных.

Считаем, что сверху поток ограничен свободной поверхностью, на которой выполняется динамическое условие равенства нормального напряжения в жидкости атмосферному давлению p₀. Кинематические условия на свободной поверхности и на дне выполняются автоматически, так как мы полагаем .

Поскольку внутреннее трение не учитывается, то полагаем, что при z=0 касательная к профилю средней скорости  направлена перпендикулярно к оси Oz. Это объясняется тем, что при учете вязкости вблизи стенки возникает ламинарный подслой, толщина которого много меньше толщины турбулентного потока, и потому, функция  является функцией большого градиента, так как она на малом интервале переменной z меняется от нуля до конечного значения.

Зададим еще расход жидкости  через поперечное сечение потока и значение скорости  на свободной поверхности.

Итак, к системе (4), (5) формулируем следующее граничное условие:

, , , , , z=0.                          (6)

2. Решение задачи (1), (4)-(6). Из второго уравнения в (4) с учетом первого условия в (6) находим . Подставляем его в первое уравнение в (4), выводим

, .             (7)

Из (5), (7) находим

.                (8)

Интегрируя (8) с учетом последнего условия в (6), получаем представление для :

.                       (9)

Интегрируя (9) с учетом второго условия в (6) находим  через

,                     (10)

, .

Вычисляя расход по третьей формуле в (6) и считая его известным, выводим уравнение для определения 

,                            (11)

.

Формулы для , (z) и значения , найденное из (11) дают решение поставленной задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, ч. II, м., физматгиз 1963 г., 728с.

Библиографическая ссылка