1. В работе вводятся проективно - точечные и проективно - плоские пространства гиперплоскостных элементов с кручениями. Пусть является пространством гиперплоскостных элементов с формой связности
, где
- объект аффинной связности,
- тензор,
. В
рассмотрим аффинные
- пути (обобщенные геодезические кривые), определяемые следующими дифференциальными уравнениями [1]
, (1)
где ,
,
,
,
.
Пространство гиперплоскостных элементов с объектом аффинной связности с кручением, зависящей только от координат точки
обозначим через
, где
,
,
.
В пространстве рассмотрим аффинные
- пути
. (2)
Определение 1. Пространство гиперплоскостных элементов с кручением назовем проективно - точечным или
- пространством, если оно допускает геодезическое отображение на пространство
с кручением.
Из этого определения следует, что аффинные - пути (1) переходят (отображаются) в аффинные
- пути (2). Тогда связность пространства
характеризуется следующими основными уравнениями:
;
;
. (3)
Связность (3) приводит к следующим тензорам кривизны :
, (4)
, (5)
, (6)
где введены тензоры:
, (7)
, (8)
, (9)
. (10)
В (7) ковариантное дифференцирование первого типа ,, , " ведется в симметрированной связности , а в (8) - в связности
с кручением.
Из (4) - (6) исключив ,
,
получим следующие равенства:
,
,
(11)
и тензоры проективной кривизны
, (12)
, (13)
(14),
где - тензор Г. Вейля проективной кривизны, отнесенный к связности
без кручения; тензор
имеет структуру
, причем,
- тензоры кривизны обычного точечного пространства аффинной связности
с кручением,
- тензор кривизны связности
.
2. Пусть является плоским пространством гиперплоскостных элементов. Аффинные пути плоского пространства характеризуются следующими дифференциальными уравнениями
;
. (13)
Определение 2. Пространство гиперплоскостных элементов с кручением назовем проективно-плоским или
- пространством, если оно допускает геодезическое отображение на плоское пространство
.
Аффинные пути (1) пространства отображаются в аффинные пути (13) плоского пространства
. Тогда связность пространства
в некоторой аффинной системе координат
характеризуются следующими уравнениями:
;
;
. (14)
Если связности отображаемых пространств без кручений, то ковектор , где
- скалярная функция,
.
Алгебраические структуры тензоров кривизны (4) - (6), равенства (11) и проективные тензоры кривизны (12) - (14) являются более общими тензорными приказной проективно - точечных или - пространств гиперплоскостных элементов с кручениями.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Ферзалиев А.С. Автоморфизмы пространства гиперплоскостных элементов // Функционально - дифференциональные уравнения и их приложения. Материалы первой Международной научной конференции, Махачкала, ДГУ, 2003.
Библиографическая ссылка
Ферзалиев А. С. ПРОЕКТИВНО-ТОЧЕЧНЫЕ И ПРОЕКТИВНО-ПЛОСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ГИПЕРПЛОСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С КРУЧЕНИЯМИ // Успехи современного естествознания. – 2004. – № 8. – С. 124-125;URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=13333 (дата обращения: 17.08.2024).