Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ МОНИТОРИНГА ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СЕТЕЙ

Кравец О.Я. Севрюков Н.Н.

В качестве модели телекоммуникационной сети удобно использовать сеть систем массового обслуживания (СМО), в которой каждый канал представляется двумя обслуживающими устройствами СМО, а узлы сети задают коммутационные матрицы для связи параметров потоков.

Входящими параметрами для узла являются интенсивности потоков λi,j, где i - индекс узла, откуда поступил поток, а j - индекс принимающего узла. Разные узлы имеют не одинаковое количество входов/выходов, обозначим их число через mi, где i - индекс узла. Также характеристикой узла являются плотности потоков после коммутации - ρi,kl, где i - индекс узла, а k, l - вход/выход через которые проходит поток(см. рис.1). Тогда интенсивность потока с i-го узла на j-ный можно представить в виде:

f,                                   (1)

где f(i1,i2) функция, которая задает распределение индексов входов/выходов, по сути, введена, чтобы не заострять внимание на выборе порядка их нумерации. Таким образом, было проведено суммирование по всем входам/выходам.

p

Рисунок 1. Характеристикой узла

Переходя к узлу в целом, данное уравнение можно представить в матричной форме, если ввести матрицу коммутации вида:

f

и вектор интенсивности потока для узла i:

f

Тогда (1), с учетом всего узла, можно представить в виде:

f.

Полная система для всех n узлов с mi входами/выходами будет описываться следующей системой линейных алгебраических уравнений:

f, f; f                   (2)

или

f, f; f.               (3)

Целью моделирования является исследование системы при различном поведении систем мониторинга СПД, которые вносят дополнительный поток данных в общий трафик сети. Так как данный поток никак не связан с общими потоками данных, то целесообразно ввести отдельные интенсивности для данного потока, т.е. необходима еще одна система уравнений, которая будет описывать распределение трафика системы мониторинга. В свою очередь задача мониторинга распадается на две составные части, это активный мониторинг некоторой контролирующей станцией и данные, которые посылают сами устройства СПД. Тогда полная интенсивность всех потоков:

f,

где f- интенсивность общего потока, f- интенсивность потока создаваемого станцией мониторинга, f- интенсивность потока событий от устройств:

f , f; f        

 f, f; f        

f , f; f        

Необходимо рассматривать задачу с нестационарными потоками. Ниже, непосредственное указание зависимости параметров потока от времени, в формулах может опускаться, но оно будет подразумеваться.

В качестве модели будем рассматривать Марковскую модель массового обслуживания. Воспользуемся «прямым» уравнением процесса рождения и гибели:

f,

f;

f,

f, f         (4)

Далее индекс i, который характеризует начальное состояние, опускается, но будет подразумеваться.

При анализе и решении этой задачи, параметры которой зависят от времени, удобно считать их зависимость периодической (подобная задача была решена в работе Clare A.B/: A Waiting Time Process of Markov Type, Ann. Math. Static., vol.24, pp.452-459,1956). Введем преобразование времени τ следующего вида:

f.

Для упрощения вычислений воспользуемся масштабом времени τ:

f,                             (5)

f.

Подставляя (5) в (4) получим «прямое» уравнение процесса гибели и рождения с новой масштабной переменной τ:

f,

f, n>0.  (6)

Пусть f, n=0,1,..., тогда система (6) примет вид:

f,

f, n>0. (7)

Чтобы решить эту систему надо свести ее к дифференциальному уравнению в частных производных, используя метод производящих функций. Применяя производящую функцию

f,

получаем уравнение:

f.                       (8)

Дифференцируя Q(z,τ) по τ, беря z=τ и воспользовавшись уравнением для f из (7) получаем граничные условия

f.                  (9)

Из условия начального состояния системы находим, что f, и пусть f.

Решение задачи Коши для уравнения гиперболического типа находим методом Римана.

f. (10)

Где:

f

f, , . . .;

f,

f;

f, f

f,

f.

Используя эти выражения, переходим от производящей функции Q(z,τ) к искомой:

f.       (11)

Зная условные вероятности того, что в момент времени τ в канале находится n пакетов (при условии, что в момент времени τ=0 было i пакетов) и плотность распределения длительности ожидания (n+1)-го пакета, несложно получить среднее время ожидания пакета в очереди.

Задача, выбора критерия оптимального мониторинга сетей передачи данных, сводится к максимизации частоты мониторинга fmon (для одной контролирующей станции). При этом должны выполняться следующие условия: условие «минимальных помех» (поток, создаваемый системой мониторинга, увеличивает среднее время ожидания не более чем на ζ) и условие «равномерности» (дисперсия среднего времени ожидания должна увеличиваться не более чем на η).

f,

f,f, f .

Надо заметить, что среднее время обслуживания Lq находится при условии отсутствия потока мониторинга, т.е. учитываем только λ(0), в то время, как Lqmon с учетом полного потока λ= λ(0)(1)(2). Аналогично для дисперсий Dq, Dqmon .


Библиографическая ссылка

Кравец О.Я., Севрюков Н.Н. СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ МОНИТОРИНГА ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СЕТЕЙ // Успехи современного естествознания. – 2004. – № 10. – С. 67-69;
URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=13595 (дата обращения: 24.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074