Научный журнал

Успехи современного естествознания

ISSN 1681-7494

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,775

• Авторы
• Файлы

Ващенко Г.В.

Статья в формате PDF

251 KB

Предложены параллельные явные одношаговые методы первого, второго порядков, обеспечивающие возможность с минимальными вычислительными затратами интегрировать жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В предлагаемых параллельных алгоритмах изменение величины шага построены на основе контроля точности и устойчивости численной схемы, а в неравенстве для контроля точности применяется оценка локальной ошибки метода.

В настоящее время одним из основных параметром, характеризующих эффективность использования вычислительной техники в науке и технологии, являются математические модели и численные методы, применяемые при создании программ для реализации исследований и расчетов по этим моделям. Моделирование процессов во многие важных приложениях приводит к необходимости численного решения задачи Коши для умеренно жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений [2, 3].

Рассматривается задача Коши для автономной системы обыкновенных дифференциаль ных уравнений первого порядка

y′ = f(y), y(t₀) = y₀, t₀ ≤ t ≤ t_k (1)

где y: [t₀, t_k] →R^N, f: [t₀, t_k]× R^N →R^N, [t₀, t_k] -отрезок интегрирования. В предположении существования и единственности решения задачи (1) параллельная схема метода первого порядка с контролем точности для численного решения (1) в вычислительной системе из p процессоров, N > p и s = N/p, если N кратно p, или s = [N/p] + g, в противном случае, записывается в виде [1]

 (2)

где y_js⁽ⁿ⁾ ∈ Comp(j), || δ_n ||= 0.5h || f_{n + 1} - f_n || ≤ ε, 1 ≤ j ≤ p, (j-1)⋅s + 1 ≤ j_s ≤ j⋅ s, ||⋅|| - некоторая норма в R^N , || δ_n ||- норма вектора локальной погрешности, f_{n + 1} и f_n - значения правой части системы (1) соответственно в точках t _n+1 и t_n, ε требуемая точность. Параллельная схема второго порядка для численного решения (1) имеет вид

 (3)

Неравенство для оценки устойчивости h | λ_max |≤ D, где | λ_max | -наибольшее собственное число якобиана, D - размер области устойчивости (для схемы (3) он равен 2). Выбор величины шага h_n для схемы (2) определяется по формуле h_n = qh_n/1.1, где q = (ε /|| δ_n ||)^1/2, а для схемы (3) по формуле h_n = max(h_n, qh_n)/1.1, где q = (D / h_n |λ_max | )^1/2 .

Укрупненная схема параллельных алгоритмов предложенных вычислительных схем (2), (3) состоит в следующем. Компоненты y_js⁽ⁿ⁾ распределяются по p процессорам согласно блочной схеме распределения по s компонентов в каждом. Каждая задача Uj выполняется на proc(j), U_j ∈ proc(j). Proc(1) определяет значение шага h_n и передает всем proc(j), используя коммуникационную операцию one-to- all. В каждом proc(j) вычисляются y_js^(n), т.е. решается задача U_j, вычисляется значение локальной нормы || δ_n ||_j и выполняется операция all-to-all. Для вычисления значений элементов f_js(y⁽ⁿ⁾ ) вектора правой части разрабатывается отдель ная функция. Таким образом, общая схема параллельного алгоритма сводится к линейной форме и обеспечивается возможность анализа и оценки его эффективности алгоритма.

Алгоритмы реализованы в виде отдельных функций языка С и включены в комплекс программ, предназначенных для численного моделирования процессов, описываемых жесткими системами на многопроцессорных вычислительных системах кластерной архитектуры. Коммуникационные операции реализованы функциями библиотеки MPI.

Расчеты, выполняемые на 99-процессорном кластере ИВМ СО РАН [4] показали, что параллельные схемы (2), (3) применяться в случаях, когда расчеты требуется проводить с невысокой точностью - порядка 1 % и ниже.

Список литературы

1. Ващенко Г.В., Новиков Е.А. Параллельная реализация явных методов типа Рунге-Кутты // Вестник КрасГАУ. - 2010 - №2 - С. 14-18.
2. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. - Новосибирск: Наука, 1997.
3. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. - М.: Мир, 1999.
4. Исаев С.В., Малышев А.В., Шайдуров В.В. Развитие Красноярского центра параллельных вычислений // Вычислительные технологии. - 2006. - №11. - С. 28-33.

Библиографическая ссылка