Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,823

КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Ерёмичева А.Н.

Рассматриваются крутильные колебания двух стержней, подвешенных на вертикальных нитях в горизонтальной плоскости. При закручивании стержней они поднимаются, но скорость поднятия будет величиной второго порядка малости, поэтому при определении кинетической энергии были введены некоторые упрощения. Задача решена с помощью уравнений Лагранжа. Получены формулы для определения частот главных колебаний [1].

Горизонтальный однородный стержень AB массой «M», подвешен на двух вертикальных нитях длины l, второй стержень CD одинаковой массы «M» подвешен к AB на двух равных нитях длиной l′ (см. рисунок).

Положение стержня AB относительно оси определяется углом θ1, а положение стержня CD относительно AB углом θ2, тогда положение стержня CD относительно оси x определяется суммой θ1 + θ2.

При закручивании стержней оба они поднимаются, но поскольку перемещения центров масс стержней вдоль оси Z несоизмеримо меньше их горизонтальных перемещений, то квадраты скоростей, входящие в формулу кинетической энергии, будут величинами второго порядка малости, поэтому кинетическая энергия системы определяется формулой

f (1)

здесь iz - радиус инерции стержня относительно оси z, проходящей через центр масс стержней (см. рисунок).

pic 

Расчётная схема

Потенциальная энергия системы будет иметь вид:

 П = -Mg(Z1 + Z2) + C; (2)

здесь Z1 и Z2 - координаты центров тяжести стержней, а константа C определяется из начальных условий.

При θ1 = θ2 = θ в положении равновесия: Z1 = l1, Z2 = l + l′, П = 0, тогда из формулы (2)

 0 = -Mg(l + l + l′) + C или C = Mg(l + l + l′),

и формула (2) принимает вид:

 П = Mg[(l - Z1) +( l + l′ - Z2)].

Обозначая через φ1 и φ2 углы, составляемые нитями подвески стержней с осью Z1, получим

 Z1 = cosφ1; Z2 = lcosφ1 + l′ cosφ2.

Разлагая cosj в ряд

1 - cosφ ≈ φ2/2

получи]м формулу потенциальной энергии

f

Выразим углы φ1 и φ2 через θ1 и θ2, считая малые перемещения концов стержней за дуги окружностей

aθ1 = lφ1; aθ2 = l′φ2;

или 

f(3)

Уравнение Лагранжа для обобщённых координат q1 = θ1 и q2 = θ2 для формул (1) и (3) будут:

f (4)

Полагая

 θ1 = Acos(λt + ε) и θ2 = Bcos(λt + ε)

получаем уравнения:

f

Тогда характеристическое уравнение имеет вид:

f

или

f

откуда и найдутся частоты λ1 и λ2 главных колебаний.

Список литературы

1. Розе Н.В. Аналитическая механика. - Л.: 1938 -203 с.


Библиографическая ссылка

Ерёмичева А.Н. КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ // Успехи современного естествознания. – 2011. – № 7. – С. 263-264;
URL: http://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=27338 (дата обращения: 26.11.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074