Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,823

СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОТ МАТРИЦ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Сиськова Д.Ю. Рудакова П.Н. Матвеева Т.А. Светличная В.Б.

Спектральный анализ линейных операторов имеет целый ряд важных применений в классической механике (особенно теории колебаний), электродинамике, квантовой механике, дифференциальных и интегральных уравнений и других областях математики и математической физики.

Пусть функция f(λ) пределена на спектре квадратной матрицы А,

f - минимальный многочлен А.

Тогда спектральное разложение матрицы f(A) имеет вид

f (1)

В данной работе рассмотрим построение спектрального разложения матрицы

f

и его применения к вычислению функций от матриц, решение систем линейных однородных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Найдем минимальный многочлен матрицы А - последний инвариантный множитель матрицы (A - λE):

f - характеристический многочлен.

Следовательно, НОД миноров 3 порядка:

f.

Найдем делители всех миноров 2-го порядка матрицы А:

f

f

Т.к. данные миноры 2-го порядка взаимно простые, то d2(λ) = 1.

Следовательно, минимальный многочлен

f

По формуле (1) для любой функции f(λ), определенной на спектре матрицы А, имеем

f

Полагая в этом разложении поочередно

f(λ) = 1; f(λ) = (λ ‒ 2); f(l) = (λ ‒ 2)2,

приходим к системе матричных уравнений

f

из которой находим компоненты Z11, Z12, Z21.

Таким образом, спектральное разложение матрицы А примет вид:

f (2)

Спектральное разложение очень удобно, если требуется вычислить несколько функций от одной и той же матрицы.

Например, вычислим значение функции от матрицы sin(πA). При f(λ) = sin(πλ) имеем f(2) = 0, f′(2) = π, f(3) = 0. Следовательно,

f

Рассмотрим другое применение спектрального анализа - это решение систем ОДУ с постоянными коэффициентами Y′ = AY, где A = (aij)n×n - матрица коэффициентов.

Решение системы f, удовлетворяющее начальным условиям

f,

находится по формуле

f.

Если в качестве yi0 брать произвольные постоянные Ci (i = 1, 2, ..., n), то f - общее решение системы.

Найдем общее решение системы ОДУ: Y′ = AY, где А - исходная матрица.

Вычислим eAt с помощью спектрального разложения (2). При f(λ) = eλt имеем f(2) = e2t, f′(2) = te2t, f(3) = e3t. Получаем

f

Тогда по формуле f находим общее решение системы ОДУ

f


Библиографическая ссылка

Сиськова Д.Ю., Рудакова П.Н., Матвеева Т.А., Светличная В.Б. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОТ МАТРИЦ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ // Успехи современного естествознания. – 2011. – № 7. – С. 277-278;
URL: http://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=27350 (дата обращения: 24.11.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074