Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,823

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ С ИЗМЕНЯЕМОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ

Федюнина М.А.

Рассмотрим движение груза M массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити бесконечной длины, намотанной на неподвижный цилиндр радиуса r. В положении устойчивого равновесия длина свободной части нити равна l0 (рис. 1), размерами груза пренебрегаем.

pic 

Рис. 1. Расчетная схема

В произвольный момент времени положение материальной точки определим радиус-вектором f, в качестве обобщенной координаты примем ее угол отклонения от положения устойчивого равновесия j. Кроме силы тяжести f на точку действует идеальная связь - нерастяжимая нить (рис. 1), действие которой, заменим ее реакцией - силой натяжения g.

Дифференциального уравнения движения

f (1)

здесь T - кинетическая энергия, f - потенциальная энергия.

f (2)

Здесь f - скорость материальной точки,

f

где f тогда

f (3)

Подставляя выражения (2), (3) в уравнение Лагранжа (1) получим дифференциальное уравнение движения груза

f (4)

Начальные условия для уравнения (4) имеют вид

f (5)

Движение материальной точки будет описываться дифференциальным уравнением (4) с начальными условиями (5) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т. е. выполняется условие x2 + y2 + l2 или N ≥ 0. Кроме этого, должно выполняться дополнительное условие

 l0 + rφ > 0 или f (6)

которое обеспечивает отсутствие соударения груза с поверхностью неподвижного цилиндра.

С учетом (6) уравнение (4) можно записать в виде

f (7)

где f - приведенный радиус неподвижного цилиндра,

f

Для нахождения реакции нити f запишем основное уравнение динамики несвободной материальной точки в проекциях на нормаль к траектории, которая совпадает с линией AM:

f

Тогда значение силы N будет равно

f (8)

где f - приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали, f - сила натяжения, отнесенная к весу груза.

Для анализа дифференциального уравнения движения (7) запишем его первый интеграл, выражающий закон сохранения механической энергии

f.

С учетом соотношений (2) и (3), получим

f

Данное выражение можно привести к виду

f (9)

где  f f

f

Выражение для силы натяжения нити (8) с учетом (9) запишется в виде

f (10)

где  f

f

Анализ задачи показывает, что возможны два вида движения точки, описываемой дифференциальным уравнением (7): колебательное, вблизи положения устойчивого равновесия и движение по раскручивающейся спирали.

Положение устойчивого равновесия определяется из условия минимума потенциальной энергии точки

f

Согласно выражению (3) получим

f

f

Так как B(φ) > 0, а угол β изменяется внутри интервала f, то положения устойчивого равновесия соответствует значениям φ равным

φ = 0,2πn; n ∈ N.

График изменения потенциальной энергии материальной точки представлен на рис. 2. При расчетах принято, что l0 = π r, т.е. αкр = π.

Рассмотрим теперь предельные состояния движения груза, при которых осуществляется переход от одного вида движения к другому. Преобразуем выражение (9) к виду:

f (11)

где

f.

Анализ выражения позволяет сделать вывод о том, что параметр σ характеризует два вида движения точки: колебательное и движение по раскручивающейся спирали.

pic

Рис. 2. Области на фазовой плоскости:
I - колебательного движения;
II - движение по раскручивающейся спирали

При значениях 0 < σ ≥ 1 его можно представить в виде f и выражение (11) запишется в виде

f

откуда следует, что f и f, т.е. движение носит колебательный характер, максимальное отклонение которого α определится из уравнения:

f

При значениях σ > 1 величина f в любой момент времени и груз совершает движение по раскручивающейся спирали.

Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение σ = 1 (рис. 2), которое можно записать в виде:

f

или  f

При значениях f груз совершает движение по раскручивающейся спирали, а при значениях f - колебательное движение. Следовательно, при колебательном движении груза, его максимальное отклонение от положения устойчивого равновесия не может превышать величину f

Список литературы

  1. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Практикум: учебное пособие. - СПб, БХВ - Петербург, 2005. - 752 с.
  2. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - ч. 1, 2. - М.: Наука, 1983.

Библиографическая ссылка

Федюнина М.А. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ С ИЗМЕНЯЕМОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ // Успехи современного естествознания. – 2011. – № 7. – С. 282-284;
URL: http://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=27355 (дата обращения: 27.11.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074