Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,780

РАСШИРЕНИЕ ГРАНИЦ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СВОБОДНОГО РАСТЕКАНИЯ БУРНОГО ПОТОКА

Дуванская Е.В. 1 Волосухин В.А. 2
1 ГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса»
2 ФГБОУ ВПО «Новочеркасская мелиоративная академия»
1. Крицкий С.Н. Расчеты речного стока / С.Н. Крицкий, М.Ф. Менкель. – М.-Л.: ОНТИ, Госстройиздат, 1934. – 260 с.
2. Устройства нижнего бьефа водосбросов / Н.Т. Кавешников, Е.И. Китов, О.Н. Черных, И.С. Румянцев и др. / под ред. проф. Н.П. Розанова. – М.: Колос, 1984. – 269 с.
3. Розанов Н.П. Гидравлический расчет малых мостов и дорожных труб прямоугольного поперечного сечения. / Труды гидравлической лаборатории: сборник № 2; под ред. проф. А.Р. Березинского. – М.: Госстройиздат, 1948. – С. 147–176.
4. Бондаренко В.Л. Экологическая безопасность в строительстве / В.Л. Бондаренко, В.А. Волосухин, В.В. Приваленко, и др.; под ред. проф. И.С. Румянцева. – Новочеркасск: Альтаир, 2011. – 396 с.
5. Ширяев В.В. Развитие теории двухмерных открытых водных потоков: монография / В.В. Ширяев, М.Ф. Мицик, Е.В. Дуванская; под общ. ред. В.В. Ширяева. – Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2007. – 133 с.
6. Емцев Б.Т. Двухмерные бурные потоки. – М.: Энергия, 1967. – 212 с.
7. Коханенко В.Н. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков: монография / В.Н. Коханенко, Я.В. Волосухин, В.В. Ширяев, Н.В. Коханенко; под общ. ред. проф. В.Н. Коханенко. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2007. – 168 с.
8. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука, 1970. – 720 с.

В работе предлагаются два основных решения для функции тока, при числах Фруда, меньших четырех, и больших четырех, которые определяются из общего решения двухмерной плановой задачи для бурного потока при свободном растекании. Новые решения лучше согласуются с экспериментом.

Интенсивное строительство автомобильных и железных дорог в России еще в XIX веке выдвинуло целый ряд проблемных вопросов по расчету отверстий малых мостов и дорожных труб. Так железнодорожная катастрофа, произошедшая в 1882 г. с многочисленными человеческими жертвами вблизи г. Тула была связана с разрушением из-за недостаточной водопропускной способности трубы под полотном дороги и размывом нижнего бьефа [1]. Обширные гидравлические исследования подобных конструкций были проведены в XX веке АО ВНИИВОДГЕО, ЦАГИ, КАДИ МГМИ, НИМИ, МИСИ [2, 3] и др. вузах и НИИ. Актуальны донные вопросы и для каналов обводнительно-оросительных систем, которые пересекаются с естественной гидрографической сетью в среднем через 7–8 км. Поэтому из подобных сооружений только на юге России более 20 тыс., находящихся на балансе Минсельхоза России и агропроизводителей.

Одним из приоритетных направлений по обеспечению экологической безопасности в настоящее время России является совершенствование существующих технологий в строительстве сооружений [4], которые подвергаются разрушению со стороны нижнего бьефа из-за недопустимого размыва крепления. Причиной разрушения крепления нижнего бьефа, в основном является неточный расчет параметров потока воды.

В [5] получено решение задачи свободного растекания потока по гладкому горизонтальному руслу для крайней линии тока, которое адекватно определяет зону повышенной нагрузки потока на боковое крепление, однако это решение не лишено недостатков. В предлагаемом решении параметры потока на выходе из трубы терпит разрыв модуль вектора скорости, а также направление вектора скорости. Кроме того, при числах Фруда, больших четырех, ухудшается адекватность полученного в [3] решения с экспериментальными данными.

Цель настоящей работы – получить решение задачи свободного растекания для функции тока, обладающее свойством непрерывности параметров потока на выходе из трубы и имеющее высокую адекватность с экспериментом.

В [5] было показано, что в случае растекания двухмерного стационарного потока без учета сил сопротивления в плоскости годографа скорости система уравнений движения бурного потока имеет вид:

Eqn23.wmf (1)

где φ, ψ – соответственно потенциальная функция и функция тока; θ – угол наклона вектора скорости жидкой частицы к продольной оси симметрии потока – ОХ; Eqn24.wmf – квадрат скоростного коэффициента; V – модуль вектора скорости жидкой частицы потока; h0 – глубина потока в некоторой характерной точке; V0 – модуль скорости в этой же точке; Eqn25.wmf – постоянная для всего потока; g – ускорение силы тяжести.

Система (1) совместно с граничными условиями позволяет ставить задачи плановой гидравлики в плоскости годографа скорости. При этом для решения конкретной задачи достаточно определить вид одной из функций φ = φ(τ, θ) или ψ = ψ(τ, θ), удовлетворяющей граничным условиям течения потока.

Рассмотрим задачу определения вида функции ψ = ψ(τ, θ) в случае свободного растекания бурного потока за безнапорным отверстием в широкое горизонтальное отводящее русло. В задаче свободного растекания бурного потока необходимо выполнение условия для граничной линии тока (рис. 1):

Eqn26.wmf (2)

pic_32.tif

Рис. 1. Область течения потока в плоскости годографа скорости

Граничная линия тока «ОС» должна проходить через точку «О» с параметрами τ = τ0, θ = 0 и точку «С» с параметрами τ = 1, θ = θmax, таким образом,

ψ(τ, θ) = ψ(1, θmax). (3)

Угол «θmax» определяется из условия совпадения граничной линии тока с одной из характеристик потока, выходящей из точки τ = τ0, θ = 0, при τ → 1 [3]:

Eqn27.wmf

Eqn28.wmf (4)

Следует отметить, что условий (2), (3) для однозначного определения функции ψ(τ, θ) в задаче свободного растекания потока недостаточно, так как не определено физическое условие течения потока вдоль граничной линии тока.

Решение системы (1) для функции тока у потоков, имеющих продольную ось симметрии, согласно [7] записывается в виде:

Eqn29.wmf (5)

где

Eqn30.wmf Eqn31.wmf

Eqn32.wmf

Eqn33.wmf

F(ak, bk, ck, τ) гипергеометрическая функция;

Eqn34.wmf

Eqn35.wmf

Eqn36.wmf Eqn37.wmf

При этом считаем, что ck и Eqn38.wmf в выражениях (5) не равны нулю или целому отрицательному числу; M, Eqn39.wmf, Eqn40.wmf, Eqn41.wmf, Eqn42.wmf – коэффициенты, подлежащие определению в результате решения задачи.

Первое слагаемое в выражении (5) необходимо для выполнения условия непрерывности по параметрам потока в окрестности выхода из отверстия. Величина определяется из условия достаточного затухания влияния первого слагаемого в выражении (5) по мере приближения τ к единице.

Решение вида (5) будем рассматривать такое, что для крайней линии тока (2) выполняется условие

Eqn43.wmf (6)

Тогда постоянная M определяется из равенства:

Eqn44.wmf (7)

Постоянные Eqn39.wmf, Eqn40.wmf, Eqn41.wmf, Eqn42.wmf определяются из условий:

1)

Eqn45.wmf (8)

2) функция Eqn46.wmf (9)

вдоль граничной линии тока

Eqn47.wmf

должна быть монотонно возрастающей по аргументу «τ» и максимальной в зависимости от коэффициентов Eqn39.wmf, Eqn40.wmf, Eqn41.wmf, Eqn42.wmf при каждом фиксированном «τ» [5]. Свойство монотонности следует из основных свойств бурного свободнорастекающегося потока. Оптимум по углу «θ» следует из законов оптимальности в задачах, имеющих какую-либо свободу выбора, а также совпадения результатов моделирования, эксперимента и натурных исследований.

Решение задачи свободного растекания бурного открытого водного потока начнем с определения постоянных Eqn39.wmf, Eqn40.wmf, Eqn48.wmf, Eqn49.wmf.

Рассмотрим вначале самый простой случай решения задачи при k = 1 и выборе решения (первое слагаемое в ряде (5) для простоты можно опустить)

Eqn50.wmf (10)

В этом случае исследования проводятся вдоль крайней линии тока, начиная не с точки (τ = τ0, θ = 0) а с разрывом параметров течения на выходе из трубы, т.е. с точки K(τ = τK, θ = θK) (рис. 2).

pic_33.wmf

Рис. 2. План растекания потока с разрывом параметров на выходе из трубы

При γ = 11 в решении (5) в пределе выполняется и условие

ψ(τ0, 0) = V0b/2

и практически возможен на малом расстоянии по «х»: x/b < 0,1 рост угла θ от нуля до конечного θk, поэтому выбор решения в виде (10) оправдан. Вид решения (10) имеет следующее обоснование:

при 0 < θ < π/2 функция f1(θ) = sin θ монотонно возрастающая; функция f2(τ) = τ1/2 также монотонно возрастает при τK ≤ τ < 1

Таким образом, отношение этих функций может быть постоянным при изменении самих аргументов τ и θ.

Постоянная A1 определяется из условия:

Eqn51.wmf (11)

В случае, когда число постоянных Eqn39.wmf, Eqn40.wmf, Eqn48.wmf, Eqn49.wmf в выражениях (5) равно двум, то возможен вариант:

Eqn52.wmf. (12)

В этом случае имеем:

Eqn53.wmf (13)

Вдоль крайней линии тока при τ = 1, θ = θmax поэтому из (13) следует равенство:

Eqn54.wmf (14)

следовательно:

Eqn55.wmf (15)

Будем полагать, что коэффициенты A1 и A2 являются неотрицательными величинами. Считаем функцию

Eqn56.wmf (16)

монотонно возрастающей и доставляющей максимум при любых τ из области изменения [τ0; 1].

На базе математического пакета «Mathcad, version 11.0»была разработана программа, определяющая оптимальные значения коэффициентов A1, A2. На рис. 3 показано сравнение функций угла растекания потока (17) при значениях τ0 = 0,5, параметр A2 определялся из зависимости (15), значение параметра A1 равно

Eqn57.wmf (17)

pic_34.tif

Рис. 3. Графики угла растекания потока при τ0 = 0,5 и различных значениях A1A1

Из рисунка (3) нетрудно видеть, что условию наибольшего растекания потока и его монотонности по τ соответствует функция Eqn58.wmf, то есть функция

Eqn59.wmf (18)

Результаты моделирования сравнивались с результатами экспериментов. Это сравнение позволило сформулировать следующее утверждение: найденные постоянные

Eqn60.wmf (19)

в выражении (5) доставляют максимум функции

Eqn61.wmf (20)

для соответствующих значений «τ», τ ∈ [τ0; 1] при этом функция (20) является монотонно возрастающей по τ и удовлетворяет условию:

Eqn62.wmf (21)

Высокую степень адекватности по параметрам потока в окрестности выхода потока из трубы до расширения потока Eqn63.wmf дает модель по формуле (12) с постоянными (19)

Eqn64.wmf (22)

при Eqn65.wmf.

Последующее решение задачи в физической плоскости сводится к использованию зависимости (12) с учетом того, что вдоль каждой линии тока dψ ≡ 0, соответственно вдоль эквипотенциали dφ ≡ 0 и интегрированию получаемых уравнений.

Для случая (12) выражение для потенциальной функции имеет следующий вид:

Eqn66.wmf (23)

В этом случае задача по определению параметров потока в точке пересечения произвольной линии тока с произвольной эквипотенциалью сводится к поиску решений системы:

Eqn67.wmf (24)

где A – произвольная точка оси симметрии потока, через которую проходит эквипотенциаль.

Пусть теперь Eqn68.wmf тогда функция Eqn69.wmf является монотонно возрастающей (рис. 3), соответственно постоянные определяются по формулам

Eqn70.wmf (25)

которые в выражении (5) доставляют максимум для функции (20). Функция тока в этом случае имеет вид

Eqn71.wmf (26)

Потенциальная функция, соответствующая решению с константами (25), определяется из системы (1) при известной функции тока (26)

Eqn72.wmf (27)

Для оценки степени адекватности потока приведем результаты сравнения экспериментальных исследований с модельными (по методу автора и известных исследователей в области растекания плановых потоков).

Параметры потока на выходе из трубы

b = 16 см; V0 = 148 см/с;

h0 = 148 см; Fr0 = 2/397.

pic_35.tif

Рис. 4. Сравнение экспериментальной линии тока с графиками, построенными различными методами

Из результатов сравнения относительного рассогласования ординат крайней линии тока в теории и эксперименте видно, что при относительном расширении β = 7 погрешность не превышает 7 %, при этом рассогласование эксперимента с кривой по Г.А. Лилицкому превышает 15 %, а с кривой по И.А. Шеренкову – 40 %.

Выводы по работе

1. Пользуясь основными свойствами бурных потоков, авторы получили модели растекания потока при 1< Fr0 < 4 и Fr0 ≥ 4 что повышает ее адекватность по геометрии растекания потока и по определению его параметров.

2. Полученные решения двухмерной плановой задачи обладают свойством непрерывности по параметрам потока на выходе из трубы в нижний бьеф.


Библиографическая ссылка

Дуванская Е.В., Волосухин В.А. РАСШИРЕНИЕ ГРАНИЦ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СВОБОДНОГО РАСТЕКАНИЯ БУРНОГО ПОТОКА // Успехи современного естествознания. – 2012. – № 12. – С. 113-117;
URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=31211 (дата обращения: 28.11.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074