Научный журнал

Успехи современного естествознания

ISSN 1681-7494

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,775

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Жемухова З.М. 1

---

1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» Министерства образования и науки РФ

Исследована внутреннекраевая задача для псевдопараболического уравнения третьего порядка в прямоугольной области. Путем редукции к уравнению Вольтерра второго рода доказана однозначная и безусловная разрешимость задачи.

Статья в формате PDF

434 KB

псевдопараболическое уравнение

внутреннекраевая задача

функция Римана

задача Гурса

уравнение Вольтерра

1. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Когина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикладная математика и механика. – 1960. – Т. 24, №5. – С. 852-864.

2. Водахова В.А. Краевая задача с нелокальным условием А.М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференциальные уравнения. – 1982. – Т.18, №2. – С. 280-285.

3. Репин О.А., Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т.48, №8. – С. 1140-1149.

4. Елеев В.А., Кумыкова С.К. Внутреннекраевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Кабардино – Балкарского научного центра РАН. – 2010. – №5. – С. 50-65.

5. Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения // Дифференциальные уравнения. – 1976. – Т. 12, №1. – С. 79-88.

6. Кумыкова С.К. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. – 1981. – Т. 17, №1. – С. 81-90.

7. Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Об одной задаче для гиперболического уравнения вырождающегося внутри области // Дифференциальные уравнения. – 1978. – Т. 14, №1. – С. 50-65.

8. Нахушев А.М. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влажности // Дифференциальные уравнения. – 1979. – т. 15, №1. – С. 96-105.

9. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференциальные уравнения. – 1982. – т.18, №4. – С. 689-700.

10. Colton D.L. On the analytic theory of pseudoparabolic equations // Quart. J. Math. – 1972. – Vol. 23. – Р. 179-192.

Решение многих практически важных задач, возникающих при исследовании процессов фильтрации жидкости в трещиновато-пористых средах [1], [9], движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах [10] связано с необходимостью исследования нелокальных задач для псевдопараболических уравнений [2].

Для модельного псевдопараболического уравнения А.М. Нахушевым в [8] была сформулирована краевая задача с нелокальным условием.

Цель исследования: доказать существование и единственность решения нелокальной задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка.

Постановка задачи. Пусть

конечная область плоскости переменных xyt интервал прямой Для общего псевдопараболического уравнения

в области D ставится задача.

Задача. Найти регулярное в области решение уравнения (1) из класса удовлетворяющее условиям:

(2)

(3)

(4)

где – произвольно фиксированные точки из интервала γ = const f(t) и h(x) непрерывные функции.

Справедлива следующая теорема.

Теорема: Если коэффициенты уравнения (1) и заданные функции удовлетворяют условиям

а также

то задача (1)-(4) разрешима и притом единственным образом.

Доказательство. Справедливость теоремы докажем методом функции Римана [8].

В области

рассмотрим характеристическую задачу Гурса [3]

(5)

(7)

для уравнения (1), где – неизвестная пока функция из класса Пусть – функция Римана, введенная в [8], которая однозначно определяется следующими требованиями:

где – решение следующей задачи:

– произвольная точка области .

Единственность и существование функции Римана доказывается методом редукции к нагруженным интегро-дифференциальным уравнениям [7].

Интегрируя тождество

(8)

по области с учетом свойств функции Римана и условий (5) – (7), получим

(9)

Формула (9) дает явное представление решения задачи Гурса (1), (5)-(7).

Для нахождения неизвестной функции по аналогичной схеме в рассмотрим характеристическую задачу Гурса

(10)

(11)

(12)

для уравнения (1).

Пусть – функция Римана, удовлетворяющая условиям:

где – решение задачи [5]:

– произвольная точка области .

Интегрируя тождество (9) по области и пользуясь свойством функции Римана получим

(13)

Формула (13) дает представление решения задачи Гурса (1), (10)-(12).

Тогда при выполнении условия теоремы, выполняется неравенство

С учетом (14), используя условие склеивания (4), из соотношений (9) и (13) получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно ϕ(τ)

(15)

где

Так как с учетом гладкости известных функций

,

то на основании свойств функций Римана и и условия теоремы, то единственное регулярное решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода (15) из класса представимо в виде

(16)

где – резольвента ядра .

После определения функции формулой (16) исследуемая задача распадается на две характеристические задачи (5) – (7) и (10) – (12) для псевдопараболического уравнения (1) единственные регулярные решения которых даются соответственно, формулами (9) и (13).

Из единственности регулярного решения указанных характеристических задач Гурса для уравнения (1) следует справедливость теоремы.

Нелокальные внутреннекраевые задачи для уравнений смешанного типа исследовались также в работах [3-7].

Библиографическая ссылка