Решение многих практически важных задач, возникающих при исследовании процессов фильтрации жидкости в трещиновато-пористых средах [1], [9], движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах [10] связано с необходимостью исследования нелокальных задач для псевдопараболических уравнений [2].
Для модельного псевдопараболического уравнения А.М. Нахушевым в [8] была сформулирована краевая задача с нелокальным условием.
Цель исследования: доказать существование и единственность решения нелокальной задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка.
Постановка задачи. Пусть
конечная область плоскости переменных xyt интервал
прямой
Для общего псевдопараболического уравнения
в области D ставится задача.
Задача. Найти регулярное в области решение
уравнения (1) из класса
удовлетворяющее условиям:
(2)
(3)
(4)
где – произвольно фиксированные точки из интервала
γ = const f(t) и h(x) непрерывные функции.
Справедлива следующая теорема.
Теорема: Если коэффициенты уравнения (1) и заданные функции удовлетворяют условиям
а также
то задача (1)-(4) разрешима и притом единственным образом.
Доказательство. Справедливость теоремы докажем методом функции Римана [8].
В области
рассмотрим характеристическую задачу Гурса [3]
(5)
(7)
для уравнения (1), где – неизвестная пока функция из класса
Пусть
– функция Римана, введенная в [8], которая однозначно определяется следующими требованиями:
где – решение следующей задачи:
– произвольная точка области
.
Единственность и существование функции Римана доказывается методом редукции к нагруженным интегро-дифференциальным уравнениям [7].
Интегрируя тождество
(8)
по области с учетом свойств функции Римана
и условий (5) – (7), получим
(9)
Формула (9) дает явное представление решения задачи Гурса (1), (5)-(7).
Для нахождения неизвестной функции по аналогичной схеме в
рассмотрим характеристическую задачу Гурса
(10)
(11)
(12)
для уравнения (1).
Пусть – функция Римана, удовлетворяющая условиям:
где – решение задачи [5]:
– произвольная точка области
.
Интегрируя тождество (9) по области и пользуясь свойством функции Римана
получим
(13)
Формула (13) дает представление решения задачи Гурса (1), (10)-(12).
Тогда при выполнении условия теоремы, выполняется неравенство
С учетом (14), используя условие склеивания (4), из соотношений (9) и (13) получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно ϕ(τ)
(15)
где
Так как с учетом гладкости известных функций
,
то на основании свойств функций Римана и
и условия теоремы, то единственное регулярное решение
интегрального уравнения Вольтерра второго рода (15) из класса
представимо в виде
(16)
где – резольвента ядра
.
После определения функции формулой (16) исследуемая задача распадается на две характеристические задачи (5) – (7) и (10) – (12) для псевдопараболического уравнения (1) единственные регулярные решения которых даются соответственно, формулами (9) и (13).
Из единственности регулярного решения указанных характеристических задач Гурса для уравнения (1) следует справедливость теоремы.
Нелокальные внутреннекраевые задачи для уравнений смешанного типа исследовались также в работах [3-7].
Библиографическая ссылка
Жемухова З.М. ВНУТРЕННЕКРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ // Успехи современного естествознания. – 2013. – № 11. – С. 141-144;URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=33137 (дата обращения: 17.08.2024).