Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,775

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРОМИ ДРОБНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В КРАЕВОМ УСЛОВИИ

Гучаева З.Х. 1 Бесланеева Л.Ю. 1
1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»
Для вырождающегося гиперболического уравнения исследован вопрос о существовании решения нелокальной задачи при различных значениях порядков операторов дробного интегро – дифференцирования в краевом условии.
краевая задача
оператор дробного интегрирования
оператор дробного дифференцирования
задача Коши
уравнение Вольтерра
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 448 с.
2. Елеев В.А., Кумыкова С.К. О некоторых краевых задачах со смещением на характеристиках для смешанного уравнения гиперболо- параболического типа // Украинский математический журнал. 2000. Т.52. С. 707 – 716.
3. Карасев И.М., Кумыкова С.К. К вопросу интегрирования в дифференциальных уравнений с обобщенным оператором Чебышева // Дифференциальные уравнения. 1972. Т.8. № 11. С. 2080-2081.
4. Кумыкова С.К. О некоторых краевых задачах со смещением для уравнения Лаврентьева – Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 1973. Т.9. № 1. С. 106 – 114.
5. Нахушев A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.
6. Оразов И. Об одной краевой задаче со смещением для обобщенного уравнения Трикоми // Дифференц. уравнения. 1981. Т.17. № 2- С. 5 -17.
7. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2012. № 9(100). с. 52 – 60.
8. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико – математические науки» № 1 (30) – 2013. С. 150 – 158.
9. Репин О.А., Кумыкова С.К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа, порядок которого вырождается вдоль линии изменения типа // Известия высших учебных заведений. 2013. № 8. С. 57 – 65.
10. Репин О.А., Кумыкова С.К. Внутреннекраевая задача с операторами Сайго для уравнения Геллерстедта // Дифференциальные уравнения. 2013. Т.49. № 10. С. 1340 – 1349.
11. Репин О.А., Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Дифференциальные уравнения. 2012. Т.48. № 8. С. 1140 – 1149.
12. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.

Многие важные проблемы динамики плазмы, теории тепло- и массо – обмена в капиллярно-пористых средах, а также теории околозвуковых течений идеального газа и жидкости сводятся к локальным и нелокальным краевым задачам для гиперболического и смешанного типов уравнений, когда носителями граничных условий являются части характеристических кривых. Анализ литературы по гиперболическим уравнениям переноса влаги в пористых средах показал, что наиболее адекватными реальной ситуации моделями являются математические модели, в основе которых лежит уравнение А.В. Лыкова с младшим членом, учитывающим движение почвенной влаги под действием гравитационных сил

beslan1.wmf.

Это уравнение предложено А.В. Бицадзе [1] как пример уравнения, для которого при beslan2.wmf корректна по Адамару задача Коши, несмотря на нарушение известного условия Геллерстедта, а А.М. Нахушевым [5] как пример уравнения, для которого при beslan4.wmf задача Дарбу не является корректной и характеристики не являются равноправными как носителя граничных данных. Вследствии прикладной важности возникла необходимость исследования нелокальных задач для уравнения А.В. Лыкова.

Цель: исследовать вопросы разрешимости нелокальной задачи с операторами дробного интегро-дифференцирования в краевом условии произвольного порядка и выяснить эффект влияния коэффициента при младшей производной на существование и единственность решения задачи.

Постановка задачи. Рассматривается уравнение влагопереноса Бицадзе – Лыкова

beslan5.wmf, (1)

где a – действительная постоянная, причем beslan6.wmf, в характеристическом треугольнике D, ограниченном характеристиками

beslan7.wmf

уравнения (1) и отрезком beslan9.wmf прямой beslan10.wmf.

Задача. Найти регулярное в области D решение u(x,y) уравнения (1) из класса beslan12.wmf, удовлетворяющее краевым условиям

beslan13.wmf (2)

beslan14.wmf (3)

где beslan15.wmf – заданные непрерывные функции, причем beslan16.wmf beslan17.wmf – точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки beslan19.wmf с характеристиками AC, BC соответственно; a, b – постоянные, beslan20.wmf – операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро – дифференцирования, определяемые по формулам [12]

beslan22.wmf

beslan23.wmf

Задача (1)-(3) относится к классу краевых задач со смещением A.M. Нахушева [5]. Для обобщенного уравнения Трикоми задача (2)–(3) была исследована Оразовым И. [11] для различных интервалов изменения постоянных a, b. Нелокальные задачи со смещением для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений исследовались также в работах [2-5]–[7-11].

Доказательство существования решения задачи. Известно [1], что решение задачи Коши для уравнения (1) в области D при beslan27.wmf представимо в виде

beslan28.wmf

beslan29.wmf (4)

где beslan30.wmf.

Удовлетворив (4) краевому условию (3), после преобразований получим уравнение

beslan31.wmf

beslan32.wmf (5)

где

beslan33.wmf

beslan34.wmf

Теорема. Если

beslan35.wmf (6)

и выполнены условия

beslan36.wmf (7)

beslan37.wmf

где beslan38.wmf (8)

причем beslan39.wmf

beslan40.wmf (9)

то задача (1)-(3) имеет более одного решения.

При выполнении условий (6) теоремы уравнение (5) примет вид

beslan41.wmf

beslan42.wmf (10)

где

beslan43.wmf

beslan44.wmf

В случае, когда beslan45.wmf из (10) можно определить

beslan48.wmf

где k=0,1,…, т.е. решение задачи (1)-(3) существует и единственно.

Краткости ради исследуем вопрос разрешимости уравнения (10) при k=0 и k=1. С учетом свойств операторов дробного интегро-дифференцирования после соответствующих вычислений можно заключить, что правая часть g(x) уравнения (10) представима в виде

beslan49.wmf,

где beslan50.wmf.

При выполнении условий (8) теоремы вопрос разрешимости задачи при k=0 эквивалентно редуцирован к вопросу разрешимости следующего интегро-дифференциального уравнения относительно n(x):

beslan52.wmf (11)

где beslan53.wmf

В этом случае справедливо неравенство beslan54.wmf. Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее (11)

beslan55.wmf (12)

Введем новую неизвестную функцию

beslan56.wmf (13)

и, применяя формулу обращения

beslan57.wmf

интегрального уравнения Абеля

beslan58.wmf

где beslan59.wmf К (13), в результате получим уравнение

beslan61.wmf

Подставляя последнее в (12) будем иметь

beslan62.wmf

beslan63.wmf (14)

Если обозначить

beslan64.wmf (15)

то с учетом равенства j(1)=С*, будем иметь

beslan65.wmf (16)

Подставляя (15), (16) в (14), получим при beslan68.wmf, что однородная задача (1)-(3), при k=0 эквивалентно в смысле разрешимости уравнению Вольтерра 2-го рода

beslan69.wmf (17)

где beslan70.wmf

Методом последовательных приближений можно показать, что уравнение (17) имеет нетривиальное решение в классе функций

beslan71.wmf

где beslan72.wmf.

Таким образом, при k=0 решение задачи (1)-(3) неединственно.

Докажем теперь существование решения задачи (1)-(3) в случае k=0. Уравнение (11) в результате введения функции j(x), а затем и Y(x) по формулам (13), (15) принимает вид

beslan74.wmf (18)

где

beslan75.wmf

С учетом гладкости известных функций правая часть уравнения (18) представима в виде

beslan76.wmf

где beslan77.wmf.

В этом классе функций уравнение (18) имеет нетривиальное решение Y(x). По найденному Y(x) определяется j(x), а затем n(x). Таким образом, задача разрешима и ее решение задается формулой (4).

Исследуем теперь вопрос разрешимости задачи (1)-(3) при k=1. В этом случае выполняется неравенство beslan78.wmf. И уравнение (10) при выполнении условий теоремы имеет вид

beslan79.wmf

beslan80.wmf (19)

Покажем, что однородное уравнение, соответствующее (19), имеет нетривиальное решение. В самом деле, рассмотрим уравнение

beslan81.wmf (20)

Вычислениями, аналогичными случаю k=0 уравнение (20) преобразуется к виду:

beslan82.wmf (21)

где

beslan83.wmf

beslan84.wmf

beslan85.wmf

beslan86.wmf

beslan87.wmf

beslan88.wmf.

Уравнение (21) есть интегральное уравнение Вольтера второго рода с непрерывной правой частью beslan89.wmf и непрерывным ядром beslan90.wmf и, следовательно, оно имеет единственное непрерывное на beslan91.wmf решение beslan92.wmf, определяемое формулой

beslan93.wmf

где R(x,t,b) – резольвента ядра beslan94.wmf Таким образом, неединственность решения задачи при k=1 доказана.

Установим существование решения задачи при k=1. С учетом ранее введенных обозначений и проведенных преобразований уравнение (19) примет вид

beslan95.wmf (22)

где

beslan96.wmf

На основании ранее приведенных исследований заключаем, что правая часть (22) представима в виде

beslan97.wmf

где beslan98.wmf В этом классе функции уравнение (22) имеет нетривиальное решение Y(x). По найденному Y(x) можно определить n(x). Следовательно, при k=1 задача (1)-(3) разрешима и ее решение задается формулой (4)

По найденному n(x) решение u(x,y) задачи (1) – (3) в области D определяется по формуле (4).


Библиографическая ссылка

Гучаева З.Х., Бесланеева Л.Ю. НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРОМИ ДРОБНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В КРАЕВОМ УСЛОВИИ // Успехи современного естествознания. – 2014. – № 3. – С. 81-86;
URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=33261 (дата обращения: 01.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674