Научный журнал

Успехи современного естествознания

ISSN 1681-7494

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,775

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Кумыкова С.К. 1 Матуева Р.А. 1

---

1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»

Исследован вопрос однозначной разрешимости задачи с дробными производными в краевом условии для уравнения смешанного типа второго порядка. При ограничениях неравенственного типа на известные функции и различных порядках операторов дробного дифференцирования в краевом условии доказана теорема единственности. Существование решения доказывается путем редукции к уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого заключается из единственности решения задачи.

Статья в формате PDF

2856 KB

внутреннекраевая задача

оператор дробного дифференцирования

оператор дробного интегрирования

уравнение Фредгольма

задача Коши

1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 488 с.

2. Елеев В.А., Кумыкова С.К. Внутреннекраевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. – 2010. – № 5. – С. 5–14.

3. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. – М.: Физматгиз, 1963. – 358 с.

4. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. – М.: Наука, 2006. – 287 с.

5. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Вестник Самарского государственного университета. 2012. № 9 (100). – С. 52-60.

6. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2013. № 1 (30). С. 150 – 158.

7. Репин О.А., Кумыкова С.К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа, порядок которого вырождается вдоль линии изменения типа // Известия высших учебных заведений. Математика. 2013. – № 8. С. 57 – 65.

8. Репин О.А., Кумыкова С.К. Внутреннекраевая задача с операторами Сайго для уравнения Геллерстедта // Дифференциальные уравнения. 2013. Т.49, № 10. С. 1340 – 1349.

9. Репин О.А., Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Дифференциальные уравнения. 2012. Т.48, № 8. – С. 1140–1149.

10. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. – М.: Наука, 1970. – 304 с.

11. Hardy G., Littlwood J. Some properties of fractional integrals // Math. Zs. – 1928. – v. 27, № 4, p. 37 – 41.

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа, в силу теоретической и прикладной важности, является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Многие математические модели тепло- и массообмена в средах, окруженных пористой средой, сводятся к краевым задачам для уравнений смешанного типа. Смешанные гиперболо–параболические уравнения лежат в основе математических моделей различных природных явлений. Локальные и нелокальные краевые задачи для таких уравнений встречаются в теории распространения электромагнитных полей, при изучении математических моделей, описывающих влияние растительного покрова на теплообменные процессы в почве и приземном воздухе, при котором возникает необходимость исследования задачи для двух уравнений

Цель исследования: доказать однозначную разрешимость внутреннекраевой задачи с операторами дробного дифференцирования для уравнения смешанного типа второго порядка.

Постановка задачи. Рассматривается уравнение

(1)

где – вещественная постоянная, , в конечной области W, ограниченной отрезками AA0, BB0, A0B0 прямых x=1, x=1, y=1 соответственно, лежащих в полуплоскости y>0, и характеристиками

,

уравнения (1) в полуплоскости y<0. Пусть , , интервал прямой y=0.

Задача. Найти регулярное в области W при решение U(x,y) уравнения (1), непрерывное в и удовлетворяющее условиям

, (2)

(3)

где – заданные непрерывные функции, причем , , – точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x,0), с характеристиками AC, DC соответственно, – операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования [11].

Единственность решения задачи. При решение задачи Коши

в области Ω2 имеет вид [1, 10]

(4)

где Г(a) – гамма функция Эйлера [3].

Вычислим

где

Пусть

. (5)

Подставив в (3), после преобразований получим соотношение между t(x) и n(x), принесенное из Ω2 на J

, (6)

где

,

,

. (7)

Если выполняются условия

, (8)

то функциональное соотношение из гиперболической части на J имеет вид

, (9)

где

,

. (10)

Теорема единственности. В области W не может существовать более одного решения задачи (1) – (3), если выполняется либо (5) и (7),

(11)

либо (8) и (10),

(12)

Докажем, что при выполнении условий (5), (7), (11) теоремы решение задачи единственно. Для этого докажем, что интеграл не может быть отрицательным.

В самом деле, при уравнение (6) примет вид

.

Отсюда

.

Используя методику, применявшуюся в работах [2, 5-9] получим следующее равенство

Таким образом, при выполнении условий (5), (7), (11) теоремы .

С другой стороны, переходя в уравнении (1) к пределу при , получаем

. (13)

Из (13) имеем

.

Интегрируя по частям при выполнении однородных граничных условий , будем иметь

Отсюда заключаем, что . И, следовательно,

, .

Так как , то

для всех , в частности, при . При этих значениях t функции sintx и costx образуют полную ортогональную систему функций в L2. Следовательно, почти всюду, а так как n(x) непрерывна по условию, то всюду. Отсюда легко видеть, что и из (6) при следует, что . Следовательно, в Ω2 как решение задачи Коши с нулевыми данными, а в Ω1 U(x,y)=0 как решение первой краевой задачи с нулевыми данными.

Таким образом, при выполнении условий (5), (7), (11) теоремы решение задачи единственно. При выполнении условий (8), (10), (12) теоремы единственность решения задачи доказывается анало гично.

Существование решения задачи. При выполнении условий интегрируя дважды (13) из Ω1 получим

. (14)

Пусть выполняются условия (5). Исключая t(x) из (14) и (6) вопрос разрешимости задачи (1) – (3) эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости интегрального уравнения

, (15)

где ,

.

При уравнение (15) есть интегральное уравнение Фредгольма второго рода, однозначная и безусловная разрешимость которого заключается из единственности решения задачи. По найденному n(x) определяется t(x) из (6). Решение задачи (1) – (3) в области Ω2 выписывается как решение задачи Коши, а в области Ω1 как решение первой краевой задачи [4]. При выполнения условий (8) теоремы существование решения задачи устанавливается также путем редукции к уравнению Фредгольма второго рода.

Библиографическая ссылка