Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,775

ВНУТРЕННЕКРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ВТОРОГО ПОРЯДКА

Кумыкова С.К. 1 Матуева Р.А. 1
1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»
Исследован вопрос однозначной разрешимости задачи с дробными производными в краевом условии для уравнения смешанного типа второго порядка. При ограничениях неравенственного типа на известные функции и различных порядках операторов дробного дифференцирования в краевом условии доказана теорема единственности. Существование решения доказывается путем редукции к уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого заключается из единственности решения задачи.
внутреннекраевая задача
оператор дробного дифференцирования
оператор дробного интегрирования
уравнение Фредгольма
задача Коши
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 488 с.
2. Елеев В.А., Кумыкова С.К. Внутреннекраевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. – 2010. – № 5. – С. 5–14.
3. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. – М.: Физматгиз, 1963. – 358 с.
4. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. – М.: Наука, 2006. – 287 с.
5. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Вестник Самарского государственного университета. 2012. № 9 (100). – С. 52-60.
6. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2013. № 1 (30). С. 150 – 158.
7. Репин О.А., Кумыкова С.К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа, порядок которого вырождается вдоль линии изменения типа // Известия высших учебных заведений. Математика. 2013. – № 8. С. 57 – 65.
8. Репин О.А., Кумыкова С.К. Внутреннекраевая задача с операторами Сайго для уравнения Геллерстедта // Дифференциальные уравнения. 2013. Т.49, № 10. С. 1340 – 1349.
9. Репин О.А., Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Дифференциальные уравнения. 2012. Т.48, № 8. – С. 1140–1149.
10. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. – М.: Наука, 1970. – 304 с.
11. Hardy G., Littlwood J. Some properties of fractional integrals // Math. Zs. – 1928. – v. 27, № 4, p. 37 – 41.

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа, в силу теоретической и прикладной важности, является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Многие математические модели тепло- и массообмена в средах, окруженных пористой средой, сводятся к краевым задачам для уравнений смешанного типа. Смешанные гиперболо–параболические уравнения лежат в основе математических моделей различных природных явлений. Локальные и нелокальные краевые задачи для таких уравнений встречаются в теории распространения электромагнитных полей, при изучении математических моделей, описывающих влияние растительного покрова на теплообменные процессы в почве и приземном воздухе, при котором возникает необходимость исследования задачи для двух уравнений

Цель исследования: доказать однозначную разрешимость внутреннекраевой задачи с операторами дробного дифференцирования для уравнения смешанного типа второго порядка.

Постановка задачи. Рассматривается уравнение

kumik1.wmf (1)

где kumik2.wmf – вещественная постоянная, kumik3.wmf, в конечной области W, ограниченной отрезками AA0, BB0, A0B0 прямых x=1, x=1, y=1 соответственно, лежащих в полуплоскости y>0, и характеристиками

kumik4.wmf,

kumik5.wmf

уравнения (1) в полуплоскости y<0. Пусть kumik6.wmf, kumik7.wmf, kumik8.wmf интервал прямой y=0.

Задача. Найти регулярное в области W при kumik9.wmf решение U(x,y) уравнения (1), непрерывное в kumik10.wmf и удовлетворяющее условиям

kumik11.wmf, (2)

kumik13.wmf (3)

где kumik14.wmf – заданные непрерывные функции, причем kumik15.wmf, kumik16.wmf kumik17.wmf, kumik18.wmf – точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x,0), с характеристиками AC, DC соответственно, kumik19.wmf – операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования [11].

Единственность решения задачи. При kumik20.wmf решение задачи Коши

kumik21.wmf в области Ω2 имеет вид [1, 10]

kumik22.wmf

kumik23.wmf (4)

где Г(a) – гамма функция Эйлера [3].

Вычислим

kumik24.wmf

kumik25.wmf

kumik26.wmf

где kumik27.wmf

Пусть

kumik28.wmf. (5)

Подставив kumik29.wmf в (3), после преобразований получим соотношение между t(x) и n(x), принесенное из Ω2 на J

kumik30.wmf, (6)

где kumik31.wmf

kumik33.wmf,

kumik34.wmf,

kumik35.wmf. (7)

Если выполняются условия

kumik36.wmf, (8)

то функциональное соотношение из гиперболической части kumik37.wmf на J имеет вид

kumik39.wmf, (9)

где kumik40.wmf

kumik41.wmf

kumik42.wmf,

kumik43.wmf. (10)

Теорема единственности. В области W не может существовать более одного решения задачи (1) – (3), если выполняется либо (5) и (7),

kumik44.wmf (11)

либо (8) и (10),

kumik45.wmf (12)

Докажем, что при выполнении условий (5), (7), (11) теоремы решение задачи единственно. Для этого докажем, что интеграл kumik46.wmf не может быть отрицательным.

В самом деле, при kumik47.wmf уравнение (6) примет вид

kumik48.wmf.

Отсюда kumik49.wmf

kumik50.wmf.

Используя методику, применявшуюся в работах [2, 5-9] получим следующее равенство

kumik51.wmf

kumik52.wmf

kumik53.wmf

kumik54.wmf

Таким образом, при выполнении условий (5), (7), (11) теоремы kumik55.wmf.

С другой стороны, переходя в уравнении (1) к пределу при kumik56.wmf, получаем

kumik57.wmf. (13)

Из (13) имеем

kumik58.wmf.

Интегрируя по частям при выполнении однородных граничных условий kumik59.wmf, будем иметь

kumik60.wmf

Отсюда заключаем, что kumik61.wmf. И, следовательно,

kumik62.wmf, kumik63.wmf.

Так как kumik64.wmf, то kumik65.wmfkumik66.wmf

для всех kumik67.wmf, в частности, при kumik68.wmf. При этих значениях t функции sintx и costx образуют полную ортогональную систему функций в L2. Следовательно, kumik69.wmf почти всюду, а так как n(x) непрерывна по условию, то kumik70.wmf всюду. Отсюда легко видеть, что kumik71.wmf и из (6) при kumik72.wmf следует, что kumik73.wmf. Следовательно, kumik74.wmf в Ω2 как решение задачи Коши с нулевыми данными, а в Ω1 U(x,y)=0 как решение первой краевой задачи с нулевыми данными.

Таким образом, при выполнении условий (5), (7), (11) теоремы решение задачи единственно. При выполнении условий (8), (10), (12) теоремы единственность решения задачи доказывается анало гично.

Существование решения задачи. При выполнении условий kumik75.wmf интегрируя дважды (13) из Ω1 получим

kumik76.wmf. (14)

Пусть выполняются условия (5). Исключая t(x) из (14) и (6) вопрос разрешимости задачи (1) – (3) эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости интегрального уравнения

kumik77.wmf, (15)

где kumik78.wmf,

kumik79.wmf

kumik80.wmf.

При kumik81.wmf уравнение (15) есть интегральное уравнение Фредгольма второго рода, однозначная и безусловная разрешимость которого заключается из единственности решения задачи. По найденному n(x) определяется t(x) из (6). Решение задачи (1) – (3) в области Ω2 выписывается как решение задачи Коши, а в области Ω1 как решение первой краевой задачи [4]. При выполнения условий (8) теоремы существование решения задачи устанавливается также путем редукции к уравнению Фредгольма второго рода.


Библиографическая ссылка

Кумыкова С.К., Матуева Р.А. ВНУТРЕННЕКРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ВТОРОГО ПОРЯДКА // Успехи современного естествознания. – 2014. – № 3. – С. 91-95;
URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=33263 (дата обращения: 01.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674