Введение
Успехи современного естествознания требуют дальнейшего развития теории дифференциальных уравнений в частных производных, что приводит к необходимости исследования локальных и нелокальных задач для уравнений смешанного типа. К настоящему времени хорошо исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа, которые в гиперболической части области их задания редуцируются к уравнением Эйлера-Дарбу-Пуассона. Наряду с этим задачи со смещением и задачи типа задач Бицадзе-Самарского образуют широкий класс нелокальных задач, теория которых далека от окончательного завершения. Актуальность исследования таких задач можно обосновать как внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, так и прикладными значениями.
Цель исследования: доказать однозначную разрешимость задачи Бицадзе- Самарского для уравнения смешанного типа в неограниченной области.
Постановка задачи. Рассматривается уравнение
(1)
в области плоскости комплексного переменного z = x + iy, где полуплоскость конечная область полуплоскости , ограниченная характеристиками
уравнения (1), выходящими из точек A(0,0), B(0,0) и отрезком AB прямой ; интервал прямой .
Задача. Найти функцию со следующими свойствами:
причем
ограничены, при может обращаться в бесконечность порядка где
2. удовлетворяет уравнению (1) в и краевым условиям
(2)
(3)
где
, точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки с характеристиками AC и BC соответственно; операторы дробного в смысле Римана-Лиувилля интегро-дифференцирования [9]; φ(x), α(x), β(x), γ(x), c(x), d(x) – заданные функции, причем
α(x), β(x), γ(x), c(x), d(x) );
и могут обращаться в бесконечность порядка не выше при и , а при достаточно больших удовлетворяют неравенству где
Задача (1)-(3) относится к классу краевых задач со смещением [4], исследованием которых для уравнений смешанного типа занимались многие авторы [1,2,4-8]. Интерес к таким задачам обусловлен тем, что они существенно обобщают задачу Трикоми, содержат широкий класс корректных самосопряженных задач и имеют многомерные аналоги.
Теорема единственности. В области D не может существовать более одного решения задачи (1)-(3), если выполняются условия
(4)
(5)
где
Доказательство. Пусть u(x,y) решение задачи, удовлетворяющей однородным граничным условиям
Очевидное тождество перепишем в виде
Проинтегрировав последнее по области и учитывая, что получим
, (6)
где
Единственность решения задачи (1)-(3) будет следовать из (6), если мы докажем, что
Выписывая решение задачи Коши в области [ 10] и удовлетворив условию (3), получим соотношение, между и , принесенное из области на линию AB.
(7)
где
)
)
)
При выполнении условий (4),(5) теоремы, пользуясь методикой, примененной в работах [5-8 ] , будем иметь
где
С учетом c1 sin2πε cosπε > 0 заключаем, что Следовательно, решение задачи (1)-(2) единственно, так как в как решение задачи Коши с нулевыми данными, а в как решение однородной задачи
Существования решения задачи.
Дополнительно будем предполагать, что
), ),
).
Воспользуемся известным соотношением из области (8)
Исключив из (7) и (8) вопрос существования решения задачи редуцируем к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения [3]
(9)
где
Здесь A(x) ≠ 0, A(x), B(x), γ(x) ∈ C1(J), правая часть и при и может обращаться в бесконечность порядка ниже Ядро имеет слабую особенность и допускает оценку
Действительно,
Так как
для любых и то отсюда сразу следует наше утверждение.
Таким образом, задача (1)-(3) эквивалентна в смысле разрешимости сингулярному интегральному уравнению (9).
Условие
гарантирует существование регуляризатора, приводящего уравнение (9) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого будет следовать из единственности решения задачи. По найденному можно определить и решение задачи (1)-(3) в области по формуле [10]
а в области D2 как решение задачи Коши [10]
где
Библиографическая ссылка
Кумыкова С.К., Шарданова М.А. ЗАДАЧА БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ // Успехи современного естествознания. – 2015. – № 1-1. – С. 80-83;URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=34782 (дата обращения: 07.12.2024).