Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

ЗАДАЧА С ОПЕРАТОРАМИ ДРОБНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ В КРАЕВОМ УСЛОВИИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Кумыкова С.К. 1 Халилова Л.А. 1
1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» Министерства образования и науки РФ
Для вырождающегося уравнения гиперболического типа изучена нелокальная краевая задача. Вопрос однозначной разрешимости задачи сведен к разрешимости интегральных уравнений Вольтерра второго рода при различных значениях параметров уравнения и операторов дробного интегро-дифференцирования.
краевая задача
оператор дробного интегро-дифференцирования
интегральное уравнение Вольтерра
1. Водахова В.А., Гучаева З.Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного параболо–гиперболического типа с разрывными коэффициентами // Успехи современного естествознания. – 2013. – № 11. – С. 136–140.
2. Водахова В.А., Шамеева К.А. Задачи со смещением для системы уравнений первого порядка Лыкова // Известия Кабардино–Балкарского научного центра РАН. – 2013. – № 2 (52). – С. 3–7.
3. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. – М.–Л.: Физматгиз, 1963. – 358 с.
4. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. – М.: Наука, 2006. – 287 с.
5. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
6. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. – М.: Высшая школа. – 1985. – 304 с.
7. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. – 2012. – №9 (100). – С.52–60.
8. Репин О.А., Кумыкова С.К. Нелокальная задача с дробными производными для уравнения смешанного типа // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2014. – № 8. – С.79–85.
9. Репин О.А., Кумыкова С.К. Задача с обобщенными операторами дробного интегро–диференцирования произвольного порядка // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2012. – №12. – С. 59–71.
10. Репин О.А., Кумыкова С.К. Внутреннекраевая задача с операторами Сайго для уравнения Геллерстедта // Дифференциальные уравнения. – 2013. – Т.49. – С.1340–1349.

Теория краевых задач для вырождающихся и смешанного типов уравнений в настоящее время является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных и привлекает к себе внимание многих исследователей. За последние годы особенно интенсивно ведутся исследования задач со смещением и задач типа задачи Бицадзе – Самарского, что можно обосновать как внутренними потребностями обобщения классических задач для уравнений математической физики так и прикладным значением и связью с задачами газовой динамики, теории теплопроводности, теории упругости, теории плазмы, математической биологии и многими другими вопросами механики.

Для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений исследовались задачи, когда на характеристической части границы области задавалось нелокальное условие, поточечно связывающее значение решения или производная от него, вообще говоря, дробной определенного порядка, зависящего от порядка вырождения уравнения. Работ, посвященных исследованию случаев, когда в краевых условиях присутствуют дробные производные и интегралы произвольных порядков, не зависящих от порядка вырождения уравнения, сравнительно мало.

Цель исследования: Для вырождающегося гиперболического уравнения исследовать влияние порядков операторов дробного интегро-дифференцирования в краевом условии и коэффициента при младшей производной в уравнении на однозначную разрешимость задачи.

Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

kumik1.wmf, (1)

где kumik2.wmf, kumik3.wmfkumik4.wmf – вещественная постоянная, в конечной области W, ограниченной характеристиками

kumik5.wmf,

kumik6.wmf

уравнения (1) и отрезком kumik7.wmfпрямой kumik8.wmf.

Задача. Найти регулярное в области W решение kumik9.wmf уравнения (1) из класса kumik10.wmf, удовлетворяющее краевым условиям

kumik11.wmf (2)

kumik12.wmf, (3)

где kumik13.wmf – любые вещественные числа, kumik14.wmf, причем kumik15.wmf, kumik16.wmf, kumik17.wmf – точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки kumik18.wmf с характеристиками AC, DC соответственно; kumik19.wmf – операторы дробного в смысле Римана-Лиувилля интегро-дифференцирования [5].

Задача (1) – (3) относится к классу краевых задач со смещением [4], исследованием которых для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений занимались многие авторы [1, 2, 4, 7–10].

Доказательство однозначной разрешимости задачи

При kumik20.wmf решение задачи Коши для уравнения (1) имеет вид [6]

kumik21.wmf (4)

а при kumik22.wmf

kumik23.wmf (5)

где kumik24.wmf; kumik25.wmf; kumik26.wmf; kumik27.wmf – гамма функция Эйлера [3].

Удовлетворяя (4) краевому условию (3), получим интегральное уравнение относительно:

kumik29.wmf (6)

где

kumik30.wmf

Теорема 1. Пусть kumik31.wmf, kumik32.wmf, kumik33.wmf, kumik34.wmf. Тогда решение задачи (1) – (3) существует и единственно.

Действительно, при выполнении условий теоремы 1, уравнение (6) примет вид

kumik35.wmf, (7)

где

kumik36.wmf,

kumik37.wmf

kumik38.wmf

kumik39.wmf.

Чтобы определить гладкость правой части уравнения (7) заметим, что [5]

kumik40.wmf,

kumik41.wmf

kumik42.wmf,

где kumik43.wmf – гипергеометрическая функция Гаусса [5].

Отсюда можно заключить, что

kumik44.wmf,

где kumik45.wmf – известная функция.

Пусть kumik46.wmf класс функций kumik47.wmf могущих при kumik48.wmf обращаться в бесконечность порядка kumik49.wmf, а при kumik50.wmf в бесконечность порядка kumik51.wmf.

Лемма. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда уравнение (7) имеет единственное решение в классе функций kumik52.wmf.

Доказательство леммы проведено применением к уравнению (7) метода последовательных приближений [9].

По найденному kumik53.wmf и известному kumik54.wmf решение задачи (1) – (3) определяется по формуле (4).

В случае kumik55.wmf, удовлетворяя (5) условию (3), вопрос существования решения задачи (1) – (3) эквивалентно редуцируется к разрешимости интегрального уравнения

kumik56.wmf (8)

где

kumik57.wmf.

Пусть kumik58.wmf. Подействовав на обе части (8) оператором kumik59.wmf, получим

kumik60.wmf,

где обозначено

kumik61.wmf, kumik62.wmf.

Последнее уравнение в результате ряда преобразований сводится к уравнению Фредгольма второго рода относительно kumik63.wmf со слабой особенностью в ядре

kumik64.wmf,

где kumik65.wmf, kumik66.wmf – известные функции.

Теорема 2. Пусть kumik67.wmf, kumik68.wmf, kumik69.wmf, kumik70.wmf, kumik71.wmf, kumik72.wmfkumik73.wmf, kumik74.wmf тогда решение задачи (1) – (3) существует и единственно.

Доказательство, как и в случае теоремы 1, проводится путем редукции вопроса существования решения задачи (1)–(3) к разрешимости уравнения Вольтерра второго рода относительно kumik75.wmf со слабой особенностью в ядре и непрерывной правой частью.


Библиографическая ссылка

Кумыкова С.К., Халилова Л.А. ЗАДАЧА С ОПЕРАТОРАМИ ДРОБНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ В КРАЕВОМ УСЛОВИИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ // Успехи современного естествознания. – 2015. – № 1-2. – С. 228-231;
URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=34817 (дата обращения: 09.08.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074