Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ И ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Ертаева Ж.А. 1 Байтуреев А.М. 2
1 Товарищество с ограниченной ответственность Профессиональный гуманитарно-технический колледж «Білім» Республики Казахстан
2 Республиканское государственное предприятие на праве хозяйственного ведения «Таразский государственный университет имени М.Х. Дулати» Министерства образования и науки Республики Казахстан
По результатам опытно-промышленных испытаний сушильного барабана была определена зависимость производительности барабанного агрегата от скорости теплоносителя на входе (vвх) в барабан и угла наклона барабана (a). На основе математической обработки экспериментальных данных с помощью инновационных технологий на персональном компьютере (ПК) получены уравнения регрессии линейного и полиномиального видов, и величина достоверности аппроксимации R2. Из анализа уравнений видно, что величина достоверности аппроксимации полиномиального вида R2 = 1, следовательно, уравнение регрессии адекватно эксперименту.
сушильный барабан
угол наклона
уравнение
достоверность аппроксимации
адекватно
1. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии. – М.: Высшая школа, 1985. – 328 с.
2. Вадзинский Р. Статистические вычисления в среде Excel. – СПб.: Питер, 2008. – 608 с.
3. Карлберг Конрад. Бизнес-анализ с помощью Excel 2000: – Пер. с англ.: Учебное пособие. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2000. – 480 с.
4. Корн Гранине А., Корн Тереза М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы. – М.: Наука, 1984. – 831 с.
5. Пелих А.С. Бизнес-план или как организовать собственный бизнес: анализ, методика, практикум.

Существуют различные виды формул для расчета линий тренда (достоверности) аппроксимации.

Для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов используются следующие виды уравнений [2], [4], [5]:

– Линейная –

y = mx + b, (1)

где m – угол наклона и b – координата пересечения оси абсцисс;

– Полиномиальная –

y = b + c1x + c2x2 + c3x3 + …+ c6x6, (2)

где b и с1 … с6 – константы;

– Логарифмическая –

y = cln x + b, (3)

где с и b – константы, ln – функция натурального логарифма;

– Экспоненциальная –

y = cebx, (4)

где с и b – константы, е – основание натурального логарифма;

– Степенная –

y = cxx, (5)

где с и b – константы.

Линии тренда обычно используются в задачах прогнозирования. Такие задачи решают с помощью методов регрессионного анализа. С помощью регрессионного анализа можно продолжить линию тренда вперед или назад, экстраполировать ее за пределы, в которых данные уже известны, и показать тенденцию их изменения. Можно также построить линию скользящего среднего, которая сглаживает случайные флуктуации, яснее демонстрирует модель и прослеживает тенденцию изменения данных.

Линиями тренда можно дополнить ряды данных, представленные на ненормированных плоских диаграммах с областями, линейчатых диаграммах, гистограммах, графиках, биржевых, точечных и пузырьковых диаграммах. Нельзя дополнить линиями тренда ряды данных на объемных диаграммах, нормированных диаграммах, лепестковых диаграммах, круговых и кольцевых диаграммах. При замене типа диаграммы на один из вышеперечисленных соответствующие данным линии тренда будут потеряны.

После того как уравнение регрессии найдено, необходимо произвести статистический анализ результатов. Этот анализ заключается в проверке значимости всех коэффициентов регрессии в сравнении с ошибкой воспроизводимости и адекватности уравнения. Такое исследование называется регрессивным анализом. Примем при проведении регрессивного анализа следующие допущения [2], [3], [5]:

1. Входной параметр х измеряется с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибкой в определении у. Большая ошибка у объясняется наличием в каждом процессе не выявленных переменных, не вошедших в уравнение регрессии.

2. Результаты наблюдений у1, у2, …, уn, над выходной величиной у представляют собой независимые нормально распределенные случайные величины.

3. При проведении эксперимента с объемом выборки n при условии, что каждый опыт повторен m раз, i = 1, 2, …, n, выборочные дисперсии ert01.wmf, ert02.wmf, … ert03.wmf должны быть однородны.

При одинаковом числе параллельных опытов проверка однородности дисперсии сводится к следующему [2], [3], [5]:

1. Ввод экспериментальных данных х и у в таблицу 1.

2. Используя табличные данные, строим график зависимости х и у.

3. Строим линию тренда, используя точки графика.

При построении линии тренда (аппроксимации) укажем:

– тип линии уравнения;

– степень в диапазоне от 2÷6;

– показать уравнение на диаграмме;

– поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R2)

Величина достоверности аппроксимации R2[1], [4]:

ert04.wmf, (6)

или

ert05.wmf, (7)

где

ert06.wmf, (8)

ξ – сила связи между х и у (дисперсионное отношение по Фишеру) [2], [3]:

ert07.wmf

остаточная дисперсия; (9)

ert08.wmf

общая дисперсия. (10)

Связь тем сильнее, чем меньше ξ.

Чем больше R2, тем сильнее связь [2], [3], следовательно, уравнение регрессии адекватно эксперименту.

0 ≤ R ≤ 1. (11)

Если R = 1, то существует функциональная зависимость между, параметрами.

Однако при R = 0 величины х и у нельзя считать независимыми, так как связь между ними, не сказываясь на дисперсиях, может проявить себя в моментах более высокого порядка. И только при нормальном распределении равенство нулю корреляционного отношения однозначно свидетельствует об отсутствии связи между случайными величинами. Корреляционное отношение, как и коэффициент корреляции в линейной регрессии, характеризует тесноту связи между случайными величинами. Вообще анализ силы связи по R называют корреляционным анализом.

Зависимость производительности (G) барабанного агрегата от скорости теплоносителя (ϑвх) на входе и угла наклона барабана (α)

№ п/п

Число оборотов барабана

п, об/мин

Скорость сушильного агента на входе в барабан, ϑвх, м/с

Угол наклона барабана, αо

Производительность, Gі∙10-3, кг/с

Производительность,

Gср∙10-3, кг/с

G1

G2

G3

1

2

3

4

5

6

7

8

1

14

1,95

0

325

321

314

320

2

14

1,95

– 1

181

176

183

180

3

14

1,95

– 2

101

106

108

105

4

14

1,95

– 3

40

35

36

37,5

 

Рассмотрим процесс сушки на примере поваренной соли. Требуется определить зависимость производительности (G) барабанного агрегата от скорости теплоносителя (ϑвх) на входе и угла наклона барабана (α). Экспериментальные данные приведены в таблице.

y1 = 92,25 + 299 R2 = 0,9664 или R = 0,9831 (12)

ertaev1.wmf

Рис. 1. Зависимость производительности сушилки от угла наклона барабана (вид уравнения линейный)

y2 = 9,5833х3 + 61,25х2 + 191,67 + 320 R2 = 1 или R = 1 (13)

ertaev2.wmf

Рис. 2. Зависимость производительности сушилки от угла наклона барабана (вид уравнения полиномиального)

Из анализа уравнений (12), (13) и кривых на рис. 1, 2 видно, что связь между х и у уравнения полиномиального вида (13) сильнее, чем у уравнения линейного вида (12), следовательно, уравнение регрессии (13) адекватно эксперименту.


Библиографическая ссылка

Ертаева Ж.А., Байтуреев А.М. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ И ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ // Успехи современного естествознания. – 2015. – № 9-3. – С. 489-491;
URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=35619 (дата обращения: 24.10.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074