Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,736

НЕЧЕТКИЕ ПОДСТАНОВКИ И ПРИНЦИП МАМДАНИ

Бурмистрова О.Н. 1 Кобрунов А.И. 1 Кожевникова П.В. 1
1 ФБГОУ ВПО «Ухтинский государственный технический университет»
Описаны основные элементы аппарата представления нечетких данных и нечетких зависимостей с оценкой их меры достоверности. Более подробно рассмотрен этап композиции нечетких отношений, реализованный посредством традиционной процедуры max – min нечеткой свертки нечетких отношений (композиции Мамдани). Доказано, что композиция Мамдани имеет смысл, аналогичный подстановке уравнений для исключения общих повторяющихся переменных. Приведен результат расчета композиции Мамдани, который показывает, что рассматриваемая композиция действительно выполняет роль подстановок уравнений и исключения промежуточных переменных. Результаты применимы к решению задачи установления нечетких отношений между стартовыми и прогнозными параметрами по цепочке отношений, содержащих промежуточные параметры, что особо важно для установления отношений между величинами, характеризующими петрофизические и геофизические свойства горных пород.
задача
параметры
уравнения
методы
математическое моделирование
1. Вендельштейн Б.Ю., Резванов Р.А. Геофизические методы определения параметров нефтегазовых коллекторов: при подсчете запасов и проектировании разработки месторождений. – М.: Недра, 1978. – 318 с.
2. Кобрунов А.И. Прямые и обратные задачи рассеяния при прогнозе физико-геологических параметров по геофизическим данным // Фундаментальные исследования – 2014. – № 9-6. – С. 1195–1199.
3. Кобрунов А.И. Моделирование эффектов рассеяния при прогнозе физико-геологических параметров неоднородных сред // Геофизический Журнал. – 2014. – № 5, т. 36 204. – С. 81–90.
4. Кобрунов А.И., Григорьевых А.В. Методы нечеткого моделирования при изучении взаимосвязей между геофизическими параметрами // Геофизика.– 2010.– № 2.– С. 17–23.
5. Кобрунов А.И. Математические методы моделирования в прикладной геофизике. (Избранные главы): учебное пособие. Часть. 2 Системный анализ и моделирование в условиях неопределенности.– Ухта: УГТУ, 2014.– 154 с.

Нечеткие переменные естественным образом возникают как исходные данные, для установления зависимостей между физико-геологическими параметрами, используемыми для прогноза одних физико-геологических параметров по другим [2, 3]. В отличие от традиционных методов вывода регрессионных уравнений по набору входных данных [1], и дальнейшего оперирования этими уравнениями как основой для прогноза параметров, концепция использования нечетких переменных основывается на полноценном учете всей совокупности данных, включая те неопределенности, которые реально существуют.

Основные концептуальные положения, лежащие в основе методов нечеткого моделирования, применительно к задачам моделирования в промысловой геологии состоят в следующем [4, 5]:

– влияние неоднородностей, присущих распределенным параметрам физико-геологической модели среды, проявляющимся в форме погрешностей измерений, приводит к нечеткости входных данных, используемых при моделировании, которые характеризуются распределением своих значений в выделенном диапазоне и ранжированным по уровню доверия результатам;

– те же факторы приводят к недоопределенности данных, используемых при построении зависимостей, с целью обучения прогнозу параметров по измеренным данным. Зависимости должны отражать объективную неопределенность связей между параметрами и быть ранжированными по достоверности во всем диапазоне своей области определения и допустимых значений;

– итоговая физико-геологическая модель, определенная как система распределенных геолого-геофизических параметров, должна наследовать ранжированную по достоверности неопределенность исходных данных в форме многовариантности и дифференцированной по компонентам вариантов оцененной достоверности.

Адекватным аппаратом, представления нечетких данных и нечетких зависимостей с оценкой их меры достоверности служат принципы нечеткого моделирования, основанного на трех компонентах:

– неопределенные данные с оценкой меры доверия представляются в форме функций принадлежности для нечетких величин;

– неопределенные связи с их дифференцированным ранжированием по достоверности представляются в форме отношений между нечеткими величинами;

– прогноз параметров модели с ранжированной оценкой достоверности реализуется построением функции принадлежности для пространственного распределения параметров физико-геологической модели и выполняется на принципах нечеткого логического вывода, основанного на функции принадлежности для измеренных нечетких величин и нечеткого отношения, между измеряемым и прогнозным параметрами полученными на этапе петрофизических исследований керна.

В приведенной концепции основными элементами служат:

Фазификация исходных данных – представление их в форме функций принадлежности ?(x, Ri) для исходных величин параметра x в локальных интервалах Ri, в которых будет выполняться прогнозирование.

Фазификация отношений, состоящая в построении функций принадлежности для отношений между исходными x, промежуточными y, h, …, ? и прогнозными параметрами z: ?(x, y), ?(y, h), ?(?, z).

Расчёт композиций нечётких отношений между входными параметрами для прогноза и итоговыми через систему промежуточных параметров y, h, …, ? для установления отношений ?(x, z) между начальными и конечными параметрами.

Для расчета функции принадлежности для параметра y по заданным на основе фазификации данных ??, функции принадлежности исходного параметра – ???(x), и установленной на основе фазификации данных ??, функции принадлежности для отношения между x и y – ???(x, y), используем традиционную максиминную нечёткую свёртку (композици

burmistr01.wmf):

(1)Эта формула соответствует обычному правилу матричной алгебры – произведение матрицы эквивалентной ???(x, y) на вектор ???(x), но сформулированному на языке логических умножений – пересечений и сумм – объедин

ений.Далее, по найденной ??????(y) и заданному отношению ??(y, z) н

burmistr02.wmfходим

: (2)Подставляя выражение для ??????(y) в последнее соотношение,

burmistr03.wmfполуч

аем (3)

Оburmistr04.wmfознач

ив (4)получаем для ?

???????(z).Соотношение (4) переписывается содержательным раскрытием операций пересечения и объединения в эквивалентной форме следующ

burmistr05.wmfм обр

азом: (5)Это искомое соотношение для подстановок в представлениях функций принадлежности для нечетких величин. Соотношение (5) известно как композиция Мамдани ???(x, y) и ??(y, z) и, как выяснено, имеет смысл, аналогичный подстановке уравнений для исключения общих повторяющихся переменных. Этим обосновываются правила вычисления цепочек композиций промежуточных отношений для получения функции принадлежности итогового отношения ?????(x, z) между исходными и итоговыми прогнозными параметрами. Это исключительно важное и определяющее обстоятельство для формирования правил нечеткой математики, обеспечивающих анализ неопределенных нечетких данных, полученных в результате экспериментов. Оно обосновывает применимость композиции Мамдани отношений как подстановки нечетких зависимостей для нахождения итоговых законов, обеспечивающих прогноз нечетки

х параметров.Продемонстрируем эквивалентность этого правила обычным приемом подстановок уравнений в некоторых простей

ших случаях. Далее на рисунках приведены исходные данные и их нечеткие модели для отношений ???(x,

y) и ??(y, z).Для линейных

Исходные данные: y = x

Нечеткая модель ???(x, y)

pic_7.wmf

pic_8.tif

Исходные данные: z = 7 – y

Нечеткая модель ??(y, z)

pic_9.wmf

pic_10.tif

а

в

исимостей:Композиция Мамдани ?????(x, z) этих отношений выглядит сле

д

pic_11.tifю

щим образом:Рис. 1. Композиция Мамдани линейных зависимостей: черным цветом обозначен график функций, полученный путем подста

новки уравненийКак видно, в полном соответствии с «алгебраической аналогией» происходит подстановка уравнений и исключение промежуточно

го параметра y.Для нелинейны

х

Исходные данные: y = x2 + 1

Нечеткая модель ???(x, y)

pic_12.wmf

pic_13.tif

Исходные данные: burmistr06.wmf

Нечеткая модель ??(y, z)

pic_14.wmf

pic_15.tif

з

а

висимостей:Композиция Мамд

а

pic_16.tifи

?????(x, z):Рис. 2. Композиция Мамдани нелинейных зависимостейДля более выраженных

Исходные данные: burmistr07.wmf

Нечеткая модель ???(x, y)

pic_17.wmf

pic_18.tif

Исходные данные: burmistr08.wmf

Нечеткая модель ??(y, z)

pic_19.wmf

pic_20.tif

нелинейностей: Композиция Мамд

pic_21.tif

ни ?????(x, z):Рис. 3. Композиция Мамдани более выраженных нелинейных зависимостейПриведенные результаты позволяют использовать композицию Мамдани в моделях нечеткого анализа как нечеткий аналог подстановок зависимостей, что особо важно для установления отношений между величинами, характеризующими петрофизические и геофизические свойства горных пород.


Библиографическая ссылка

Бурмистрова О.Н., Кобрунов А.И., Кожевникова П.В. НЕЧЕТКИЕ ПОДСТАНОВКИ И ПРИНЦИП МАМДАНИ // Успехи современного естествознания. – 2016. – № 1. – С. 96-101;
URL: http://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=35749 (дата обращения: 22.10.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074