Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,831

ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ СРЕДНЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ КОРРЕЛИРОВАННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Волков В.И. 1 Волков Н.В. 1 Волкова Т.Н. 1
1 ФГБОУ ВО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»
Увеличение объемов и темпов строительства на современном этапе, необходимость сооружения прецизионных и уникальных объектов – ядерных реакторов АЭС, линейных и кольцевых ускорителей, антенн измерительных систем, промышленных комплексов, связанных единым технологическим процессом, – повысили требования как к точности, так и к срокам выполнения инженерно-геодезических изысканий. Это в свою очередь потребовало дальнейшего совершенствования методов обработки результатов повторных геодезических наблюдений. В статье рассмотрены вопросы оперативной математической обработки результатов повторного высокоточного нивелирования, которое выполняется в широко разветвленных наблюдательных геодезических сетях, получающих развитие на изыскательских, прогностических и техногенных геодинамических полигонах, предназначенных для изучения экзогенных геомеханических и эндогенных процессов. Так, на стадиях проектирования объектов АЭС в пределах перспективных площадок под строительство сооружений изучаются деформационные процессы, проявляющиеся в их основаниях, и современные вертикальные движения приповерхностных слоев земной коры по результатам повторного высокоточного нивелирования. При этом в пределах перспективных площадок создаются широко разветвленные, характеризуемые высокой плотностью, нивелирные сети. Математическая обработка результатов нивелирования таких сложных высотных сетей представляет собой громоздкий и сложный процесс, сопровождающийся значительными по объемам вычислениями. В статье предлагается метод, который позволяет упростить математическую обработку результатов нивелирования разветвленных геодезических сетей, на основе применения при расчетах разработанного авторами итерационного метода получения обобщенной средней из неравноточных результатов коррелированных измерений без обращения ковариационной матрицы. Такой новый метод обладает универсальностью в применении и значительно упрощает математическую обработку результатов нивелирования разветвленных сетей.
прецизионные сооружения
разветвленная нивелирная сеть
обработка рядов результатов нивелирования
обобщенная средняя
итерационный метод
рекуррентный алгоритм
1. Волков В.И., Севергин С.М. Исследование влияний вертикальных движений земной коры на устойчивость энергетических объектов // Геодезия и картография. 1989. № 2. С. 23–26.
2. Волков В.И., Волкова Т.Н., Митягин С.Д. Новый подход к математической обработке результатов повторных геодезических наблюдений, используемых в архитектурно-строительной практике // Вестник гражданских инженеров. 2015. № 6 (53). С. 216–221.
3. Герасименко М.Д., Каморный В.М. Уравниваниеповторных геодезических измерений при наличии систематических ошибок // Геодезия и картография. 2014. № 9. С. 6–8.
4. Гордеев А.В. Об обобщенной средней результата измерений // Известия вузов «Геодезия и аэрофотосъемка». 1986. № 2. С. 30–35.
5. Губбайдуллина Р.А. Модельное определение координат точек геодезических сетей на основе использования относительных значений их элементов: дис. …канд. техн. наук. Санкт-Петербург, 2020. 171 с.
6. Маркузе Ю.И., Лэ Ань Куонг, Чан Тиен Ранг, Исследование исходной матрицы обратных весов неизвестных при рекуррентном способе уравнивания измерений // Геодезия и картография. 2016. № 11. С. 7–10.

На стадии проектирования прецизионных сооружений атомных станций в перспективных пунктах их размещения создаются изыскательские геодинамические полигоны для изучения экзогенной и эндогенной геодинамики. Геодинамические полигоны создаются на местности в виде разветвленных высокоточных нивелирных сетей. Результаты повторного нивелирования таких сетей позволяют изучить в сжатые сроки (2–4 года) устойчивость оснований фундаментов проектируемых прецизионных объектов и кинематические характеристики современной геодинамики сооружений в сложившихся природных или природно-техногенных условиях.

При этом предъявляются особые требования как к совершенствованию постановки повторного нивелирования, так и к дальнейшему повышению уровня математической обработки рядов результатов нивелирования на основе разработки универсальных методов, обеспечивающих наилучшее приближение к неизвестной [1–3].

Целью исследования, представленного в статье, является разработка нового итерационного метода получения обобщенной средней (наилучшего приближения к неизвестной) из неравноточных результатов коррелированных измерений без обращения ковариационной матрицы, обладающего универсальностью при упрощении и снижении объемов вычислений по сравнению со стандартным походом [4–6].

Материалы и методы исследования

Суть метода состоит в том, что обобщённая средняя неравноточных измерений l1, l2, … , ln, как известно [4], определяется аналитическим выражением:

missing image file,

где πi – обобщенный вес, равный сумме элементов i-й строки матрицы missing image file;

Kl – ковариационная матрица результатов измерений; D0 – дисперсия единицы веса.

Рассмотрим один из вариантов представления погрешностей результатов измерений, представленных выражением: missing image file, где Δi и η – случайные некоррелированные погрешности (Δi – индивидуальная погрешность, принадлежащая i-му результату li, а η – общая погрешность, входящая во все результаты наблюдений). Для такого случая разработан метод [4] установления обобщенной средней с оценкой ее точности.

В статье рассматривается итерационный метод получения обобщённой средней без обращения матрицы missing image file, отличающийся универсальностью по отношению к методу, описанному в работах [4–6].

Результаты исследования и их обсуждение

Представим погрешность результатов наблюдений следующим аналитическим выражением:

missing image file,

где missing image file – погрешность, входящая в множество наблюдений Ωr.

При этом условно, в качестве примера рассмотрим разветвленную нивелирную сеть (рисунок). В данной сети превышения между нивелирными пунктами i и A представлены величиной li; Δi – представляют ошибки превышений, полученных в секциях di; η – ошибка превышения в секции d16; missing image file – ошибки нивелирования в секции d10 и входящая в множество наблюдений Ω1 (l1, l2, l3).

missing image file

Схема разветвленной нивелирной сети

Рассмотрим матрицы missing image file, missing image file, missing image file и missing image file:

missing image file, missing image file,

missing image file, missing image file,

missing image file, missing image file, missing image file, missing image file.

При этом: missing image file.

Известно [4], что missing image file, где missing image file; I – единичный вектор-столбец. Принимая это во внимание, получаем:

missing image file,

где missing image file – характеристическая функция множества Ωr.

Из аналитического выражения следует, что при каждом значении i = 1, 2, … , n справедливо равенство:

missing image file. (1)

Обозначив missing image file в результате суммирования по missing image file, преобразуя равенство (1), получим:

missing image file. (2)

Из определения missing image file следует, что:

missing image file, (3)

где missing image file представляет пересечение множеств Ωα и Ωr.

Применим обозначения: missing image file, i = 1, 2, … , S; j = 1, 2, … , S; missing image file, i = 1,2, … , S. В частности, missing image file.

Исходя из выражений (2) и (3), находим S неизвестных сумм missing image file:

missing image file. (4)

После обращения матрицы В: missing image file и подстановки найденных решений missing image file (r = 1, 2, … , S) системы (4) в выражение (1), находим общие веса zi (i = 1, 2, … , n).

При этом отметим, что справедливо равенство missing image file и тот факт, что размерность В, равная S, значительно меньше размерности n-мерной матрицы Q.

Остановимся на предположении, что missing image file, т.е. множества Ωi и Ωj дизъюнктные при i ≠ j. В этом случае В становится диагональной, и обратная матрица B–1 явным образом представляется как: missing image file.

Рассмотрим решения системы уравнений (4) в следующем виде:

missing image file. (5)

Представим формулу (1) с учетом выражения (5) в виде: missing image file.

Окончательно получим:

missing image file. (6)

Рабочая формула (6) позволяет вычислить обобщённую среднюю в рассмотренном случае. В целях получения рекуррентной формулы для более общего случая, формулу (6) следует представить в другом виде. Для случая отсутствия ограничения общности предположим, что missing image file, где missing image file; missing image file.

В данном случае справедливо равенство:

missing image file. (7)

Приняв обозначение missing image file, легко доказать:

missing image file.

И следовательно:

missing image file. (8)

На основе формулы (8) можно построить для нахождения lcp рекуррентный процесс в более общей ситуации. Из вычисления missing image file получаем:

missing image file

missing image file

Предположим, что имеется двухиндексовое семейство множеств наблюдений missing image file, i = 1, 2, … , k; r = 1, 2, … , S и при фиксированном r при различных нижних индексах множества missing image file не пересекаются, т.е. missing image file, при i ≠ j, r = 1, 2, … , S. Обозначим Ωr(k) – единственное множество семейства missing image file, содержащее наблюдение lk.

Пусть:

missing image file

где missing image file, missing image file вычисляются точно, а missing image file (при r = 1, 2, … , S) – ошибки, принадлежащие множеству наблюдений Ωr(k).

Наконец, предположим, что missing image file для r = 1, 2, … , S-1 и k = 1, 2, … , n. Примем также, что ΩS(k) означает все множество наблюдений missing image file.

Алгоритм вычислений

1. Вычисляем для усеченных наблюдений вида: missing image file. К обобщенных средних по множествам:

missing image file; при i = 1, 2, … , k.

Далее вычисляем:

missing image file; missing image file; missing image file.

2. Вычисляем на основании формулы (8):

missing image file, при i = 1, 2, … , k.

missing image file, и так далее до последнего S-го шага.

Приведем пример расчета для нивелирной сети вида (рисунок).

На участках с превышением di число станций равно missing image file. Выпишем систему множеств:

missing image file; missing image file; missing image file; missing image file;

missing image file; missing image file; missing image file.

Вычисляем missing image file, missing image file, missing image file, missing image file:

missing image file missing image file

missing image file missing image file

missing image file missing image file

missing image file missing image file

На втором этапе вычисляем missing image file, missing image file, missing image file, missing image file:

missing image file; missing image file;

missing image file; missing image file.

Наконец, на последнем, третьем этапе вычисляем:

missing image file; missing image file.

В завершение заметим, что в соответствии с работой [4]:

missing image file,

где missing image file, поэтому:

missing image file.

В заключение следует отметить, что получены новые формулы для расчета обобщенной средней коррелированных измерений, не требующие обращения ковариационной матрицы измерений. При этом для разветвленных сетей нивелирования разработан итерационный метод расчета обобщенной средней, также не требующий обращения ковариационной матрицы.


Библиографическая ссылка

Волков В.И., Волков Н.В., Волкова Т.Н. ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ СРЕДНЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ КОРРЕЛИРОВАННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ // Успехи современного естествознания. – 2021. – № 3. – С. 35-42;
URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=37591 (дата обращения: 08.02.2023).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.685