Научный журнал

Успехи современного естествознания

ISSN 1681-7494

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,976

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Гурский И. Н. 1 Шичиях З. З. 1 Солодунов А. А. 1 Пшидаток С. К. 1

---

1 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Кубанский государственный аграрный университет имени И. Т. Трубилина»

В статье рассмотрен способ быстрого определения координат контрольных точек на «опасном круге» с использованием обратной геодезической засечки. Цель исследования заключается в проблеме быстрого определения положения точек на «опасном круге» при обратной геодезической засечке, которая требует комплексного подхода, включающего разработку новых алгоритмов, использование передовых технологий и методов обработки данных. В настоящей работе приведены результаты исследований на предмет подтверждения неопределенности решения задачи для точек на «опасном круге» и предлагается способ быстрого определения попадания на «опасный круг» геодезических пунктов координаты, которых определяют обратной засечкой еще на стадии полевых измерений. Концепция обратной засечки в контексте наличия «опасного круга» может быть упорядочена через систему трех вписанных треугольников, где все пять вершин расположены на окружности. Данный геометрический подход позволяет эффективно решать задачи, связанные с определением местоположения объекта в пространстве. Для оперативного установления координат искомых пунктов на «опасном круге» в полевых условиях рекомендуется проведение угловых измерений, определение направления между тремя исходными пунктами на искомом пункте и решение обратной геодезической задачи с целью определения длины хорда, соединяющей указанные исходные пункты. Внедрение данной функции в программное обеспечение современных электронных тахеометров значительно повысит их функциональные возможности и презентабельность.

Статья в формате PDF

2025 KB

обратная засечка

«опасный круг»

неопределенность решения задачи

свойства хорды

радиусы описанной окружности

результаты вычислений

1. Соколов Ю. Г., Гурский И. Н., Струсь С. С., Пшидаток С. К. К определению координат точек обратной угловой засечкой // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2016. № 118. С. 1387–1395. EDN: VWPUVP.

2. Соколов Ю. Г., Струсь С. С., Пшидаток С. К., Губанова Н. Я. К вопросу оценки точности геодезических сетей из четырехугольника с измеренными сторонами // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2014. № 98. С. 1588–1605. EDN: SEGWJF.

3. Солодунов А. А., Гурский И. Н., Пшидаток С. К. Оценка точности выполнения геодезических работ при закладке коллекции виноградников на территории Учебно- опытного хозяйства «Кубань» // Успехи современного естествознания. 2025. № 10. С. 57–64. DOI: 10.17513/use.38443. EDN: GTXGEX.

4. Гура Д. А. Применение технологий искусственного интеллекта в кадастре и геодезии: современное состояние и перспективы // Вестник СГУГиТ (Сибирского государственного университета геосистем и технологий). 2025. Т. 30. № 1. С. 126–136. DOI: 10.33764/2411-1759-2025-30-1-126-136. EDN: OWXXIV.

5. Подтелков В. В., Прокопенко А. В., Зеленков Д. С., Бегеретова М. А. Особенности устройства дренажа обратной засыпки пазух подпорных стен в зависимости от типа подтопления и конструкции сооружения // Инженерный вестник Дона. 2026. № 3 (135). EDN: GVRWBN.

6. Богомолов А. Н., Богомолова О. А., Подтелков В. В., Ушаков А. Н., Пристансков А. А. Влияние жесткости элементов ленточного фундамента на несущую способность основания // Строительство и архитектура. 2018. Т. 6. № 1. С. 12–15. DOI: 10.29039/article_5abc8c7e828ea2.11100132. EDN: YODDIL.

7. Подтелков В. В., Прокопенко А. В., Зеленков Д. С., Пшидаток М. А. Вопросы достаточности инженерно-геологических изысканий на подрабатываемой территории для устройства оснований силовых полов и фундаментов логистического центра // Инженерный вестник Дона. 2024. № 1 (109). С. 277–289. EDN: NGPKUU.

8. Богомолов А. Н., Богомолова О. А., Подтелков В. В., Богдан А. В., Либурацков Е. М. Зависимость величины предельно допустимой нагрузки от физико-механических свойств однородного основания штампа в условиях смешанной задачи // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Строительство и архитектура. 2017. Т. 8. № 1. С. 115–127. DOI: 10.15593/2224-9826/2017.1.10. EDN: YLXSOJ.

9. Богомолов А. Н., Абрамов Г. А., Богомолова О. А., Подтелков В. В., Якименко И. В. Оценка устойчивости круглых выработок различного диаметра, отработанных в однородном грунтовом откосе на уровне его подошвы // Вестник Волгоградского государственного архитектурно- строительного университета. Серия: Строительство и архитектура. 2016. № 44–1(63). С. 12–20. EDN: VYTQEZ.

10. Сергиенко Е. А., Цораева Э. Н., Катаева М. В. К вопросу нормирования площади земельных участков для размещения образовательных учреждений // Международный научный журнал. 2021. № 3. С. 41–49. DOI: 10.34286/1995-4638-2021-78-3-41-49. EDN: MJFRAO.

11. Шипилова Н. А., Ванжа В. В., Белокур К. А., Михеев Г. В., Дегтярева Е. В., Шишкин А. С., Орехова В. И. Развитие строительства с учетом внедрения инновационных технологий при возведении гидротехнических сооружений // Экономика и предпринимательство. 2024. № 6 (167). С. 990–993. DOI: 10.34925/EIP.2024.167.6.206. EDN: FXGDNB.

12. Цораева Э. Н. Актуальные вопросы рационального использования земель сельскохозяйственного назначения // International Agricultural Journal. 2025. Т. 68. № 2. DOI: 10.55186/25880209_2025_9_2_16. EDN: GXFJJJ.

13. Серга Г. В., Белокур К. А., Лебедев В. А. Технологические особенности изготовления винтовых роторов для отделочно-упрочняющей обработки деталей // Сборка в машиностроении, приборостроении. 2016. № 4. С. 8–11. EDN: VWPZBP.

14. Серга Г. В., Белокур К. А., Хвостик Э. А. Совершенствование рабочих органов станков на базе винтовых роторов // Вестник Брянского государственного технического университета. 2018. № 9 (70). С. 4. DOI: 10.30987/article_5bd17b452ab289.28134044. EDN: YSSJGX.

15. Белокур К. А., Серга Г. В. Новые конструкции колонн, жилых, промышленных и административных зданий // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2016. № 115. С. 859–872. EDN: VJLRAV.

Введение

В полевых условиях при выполнении измерений сложно определить ситуацию возникновения «опасного круга». В большинстве случаев наличие «опасного круга» выявляют в период камеральной обработки результатов измерений, что вызывает повторные полевые геодезические действия, а в конечном итоге влияет на себестоимость геодезических работ.

Цель исследования – быстрое определение положения определяемых пунктов на «опасном круге» при обратной геодезической засечке.

Материалы и методы исследования

Кафедрой геодезии Кубанского аграрного университета имени А. И. Трубилина проведены некоторые теоретические и практические исследования на предмет быстрого выявления «опасного круга» непосредственно в полевых условиях при выполнении измерений для определения координат геодезических пунктов обратной угловой засечкой. Кроме того, в результате исследования рассмотрен практический пример, которых нет в обозреваемых литературных источниках, подтверждающий утверждение, что если определяе­мая точка лежит на окружности, проходящей через три исходных пунк­та («опасный круг»), то задача становится неопределенной [1].

Результаты исследования и их обсуждение

В процессе проведения исследований на местности создана ситуация, при которой в первом случае исходные геодезические пункты и определяемый пункт Р0 находятся на одной окружности, а во втором определяемый Р находится внутри окружности [2].

Для этой цели на местности закреплены шесть точек геодезического обоснования т1, т2, т3, т4, т5, т6 и пункт Р0, по окружности по направлению радиусов от центра, что гарантировало размещение исходных и определяемого пункта на «опасном круге». Второй определяемый пункт Р расположен произвольно внутри данного круга. При этом местоположение исходных пунктов не менялось [3]. Схема размещения исходных и определяемых пунктов приведена на рис. 1.

Предварительно для сопоставления расчетов и анализа результатов экспериментальных измерений и произведено определение координат исходных и определяемых пунктов методом GPS-измерений с относительной погрешностью 1/10 000 каталог координат, которых представлен в табл. 1.

Рис. 1. Схема расположения исходных и определяемых пунктов на местности Примечание: составлен авторами по результатам данного исследования

Таблица 1

Каталог координат исходных и определяемых пунктов

Примечание: составлена авторами на основе полученных данных в ходе исследования.

Известно, что для решения обратной засечки с контролем необходимо выполнить измерения направлений не менее чем на четыре исходных пункта [4]. В процессе исследований измерения направлений выполнены способом круговых приемов с использованием электронного тахеометра Trimble C3 5" LP [5].

Для получения независимых результатов измерения направлений выполнены по двум вариантам. По первому варианту исходными пунктами являются т1, т2, т4, т6, по второму варианту – т1, т2, т3, т5. При этом местоположение определяемого пункта Р0 неизменно. По каждому из вариантов центрирование на пункте Р0 и начальное ориентирование выполнялось индивидуально, что позволяет исключить систематическую погрешность центрирования [6]. Схема измерения направлений (по двум вариантам) на пункте Р0 представлена на рис. 2.

Координаты исходных пунктов и результаты измерения направлений для определения координат пункта Р0, расположенного на «опасном круге», и по указанным выше вариантам приведены в табл. 2.

Вычисление координат дополнительного пункта Р0, а в дальнейшем и для пункта Р, выполнено решением обратной угловой засечки по формулам Кнейсселя, классическая схема которой представлена на рис. 3.

Рис. 2. Схема измерения направлений на пункте Р0 на «опасном круге» Примечание: составлен авторами на основе полученных данных в ходе исследования

Таблица 2

Исходные координаты и измеренные направления по вариантам

Примечание: составлена авторами на основе полученных данных в ходе исследования

(1)

Рис. 3. Схема обратной угловой засечки по Кнейсселю Примечание: составлен авторами по результатам данного исследования

Ниже приведен пример первого решения по вычислению координат пункта Р0, в котором вместо обозначенных А, В, С в качестве исходных приняты координаты пунктов т1, т4, т6, а значения углов β1 и β2 равны измеренным направлениям на точки т4 и т6.

По аналогии выполнены еще три решения для первого и второго вариантов измерений, результаты которых приведены в табл. 3.

Следует заметить, что ранее определены истинные координаты точки Р0 (табл. 1), которые равны хРо = 15221,43, а уРо =16902,78.

Таблица 3

Результаты вычислений координат пункта Р0

Примечание: составлена авторами на основе полученных данных в ходе исследования

Как видно из результатов вычислений, получены различные значения координат и при этом ни одно из вычисленных значений не соответствует истинным координатам пункта Р0, что подтверждает классическое положение о том, что, если определяемые и исходные пункты располагаются на «опасном круге» при обратной засечке, результат вычислений дает неопределенное решение.

Для сравнения рассмотрен случай, при котором определяемая точка Р размещена вне окружности на которой расположены исходные пункты (рис. 4).

На пункте Р измерены направления по двум вариантам по неизменным исходным пунктам, как и для пункта Р0. Изменения только в местоположении определяемого пункта, который в данном случае смещен внутрь окружности на произвольное расстояние [7–9]. В табл. 4 приведены исходные координаты и измеренные направления для пункта Р, который гарантированно расположен вне «опасного круга».

По формулам (1) и схеме решения обратной засечки по Кнейсселю произведено четырехкратное вычисление координат пункта Р, результаты которого приведены в табл. 5.

Рис. 4. Схема измерения направлений на точке Р вне «опасного круга» Примечание: составлен авторами на основе полученных данных в ходе исследования

Таблица 4

Каталог исходных координат и направлений на пункте Р

Примечание: составлена авторами на основе полученных данных в ходе исследования.

Таблица 5

Результаты вычислений координат пункта Р

Примечание: составлена авторами на основе полученных данных в ходе исследования

По результатам вычислений можно видеть, что вычисленные координаты определяемого пункта Р практически одинаковы и отличаются лишь на сотые доли метра [10]. При сопоставлении с ранее определенными координатами хР =15248,33, уР =16931,07 (табл. 1) максимальное расхождение в координатах составляет

rxP = xPвыч – хРист;

ryP = yPвыч – yРист;

Откуда абсолютное (линейное) расхождение:

Приведенные выше измерения и расчеты являются необходимой составляющей для обоснования предлагаемой методики решения вопроса быстрого определения наличия «опасного круга» при обратной засечке. Идея заключается в том, что обратную засечку, для случая наличия «опасного круга», можно представить как три вписанных треугольника, у которого все пять точек лежат на окружности (рис. 5).

Три хорды образованы четырьмя исходными пунктами, а вписанные углы, опирающиеся на хорды, образованы направлениями с определяемого пункта на исходные.

Из школьного курса геометрии, используя свойства хорды и опирающегося не нее вписанного угла, можно вычислить радиус окружности для каждого треугольника по формуле

. (2)

где L– длина хорды; β – вписанный угол, опирающийся на хорду.

Длины хорд можно вычислить решением обратных геодезических задач (ОГЗ) по координатам исходных пунктов, а значения опирающихся на них вписанных углов получают в результате полевых измерений [11].

Учитывая то, что все исходные и определяемая точка лежат н одной окружности (рис. 5) следует ожидать, что радиусы, вычисленные из каждого треугольника, должны быть одинаковы [12].

Для определения радиусов решением (ОГЗ) проведены вычисления значений длин хорд по координатам исходных пунктов для первого и второго вариантов измерений и вычислений (табл. 6).

Рис. 5. Схемы обратных засечек как три вписанных треугольника по вариантам Примечание: составлен авторами по результатам данного исследования

Таблица 6

Вычисление длин хорд по вариантам

Примечание: составлена авторами на основе полученных данных в ходе исследования.

По результатам измерения направлений (табл. 2) вычислены вписанные углы для каждой хорды [13, 14]. Для наглядности и удобства вычислений значения хорд и вписанных углов по всем шести треугольникам сведены в табл. 7.

Ниже, в качестве примера, по формуле (2) приведен расчет радиуса для первого вписанного треугольника:

Аналогично выполнены расчеты для всех треугольников, результаты расчетов приведены в табл. 7.

Таблица 7

Вычисление радиусов для вписанных треугольников

Примечание: составлена авторами на основе полученных данных в ходе исследования

Рис. 6. Схема треугольников с точкой Р вне «опасного круга» Примечание: составлен авторами по результатам данного исследования

Таблица 8

Вычисление радиусов треугольников вне «опасного круга»

Примечание: составлена авторами на основе полученных данных в ходе исследования

Как видно из расчетов для любого вписанного треугольника, значения радиусов практически равны, значит, исходные пункты и определяемый Р0 лежат на одной окружности, поэтому определение координат обратной засечкой в таком случае невозможно.

Так как в период эксперимента выполнены измерения и вычисления координат пункта Р, в порядке сопоставления по аналогии произведен расчет радиусов для аналогичных треугольников для обратных засечек свободных от влияния «опасного круга». Схема треугольников для точки расположенной вне «опасного круга» представлена на рис. 6.

Следует заметить, что исходные пункты, как было сказано ранее, расположены на окружности и длины хорд между ними неизменно [15]. Изменяются только значения углов β1 – β6 значения, которых определены по измеренным направлениям, приведенным в табл. 4. Данные для расчетов и их результаты приведены в табл. 8.

Заключение

Как видно из результатов, значения вычисленных радиусов для всех треугольников не одинаковы, следовательно точка Р не лежит на одной окружности с исходными пунктами (на «опасном круге»).

Из всего изложенного выше можно сделать вывод, что для быстрого определения положения определяемых пунктов на «опасном круге» уже в полевых условиях следует:

– На определяемом пункте измерить углы или направления между тремя исходными пунктами;

– Решением обратной геодезической задачи определить расстояние (хорды) между исходными пунктами;

– По формуле (2) вычислить и сравнить полученные радиусы.

При равенстве радиусов имеет место быть наличие опасного круга.

Такую функцию можно ввести в программное обеспечение современных электронных тахеометров, что повысит их презентабельность.

Библиографическая ссылка